— 564 — 



ragionamento di poc anzi. In caso contrario, si considerino due diverse T e r' 

 fra queste congruenze, e si indichino con / e / due loro curve generiche. 

 Le y che si appoggiano a una stessa / (o viceversa) formeranno una serie 

 oo 1 ras tonale; esse incontrano infatti questa y (o y) secondo gruppi di punti 

 tali, che un punto di quest' ultima curva individua completamente la y (o /) 

 che lo contiene, e quindi anche il gruppo della serie considerata su / (o y) 

 cui esso appartiene ; sicché questa serie di gruppi di punti (che è evidente- 

 mente algebrica) sarà un' involuzione, e perciò razionale. 



Noi possiamo così costruire infinite superficie F, ciascuna delle quali con- 

 terrà una serie razionale oo 1 di curve / (tutte quelle che si appoggiano a 

 una data /); e di queste F ne avremo una doppia infinità, ovvero soltanto 

 una semplice infinità, secondo che le y appoggiantisi a una y generica non 

 incontrano oppure incontrano in conseguenza anche infinite altre di queste curve. 



Nel primo caso per ogni y passeranno oo 1 superficie F; e queste forme- 

 ranno anche una serie razionale <r, perchè conterranno rispettivamente le sin- 

 gole y appoggiantisi a quella y, ovvero i gruppi di un' involuzione in questa 

 serie di / (che è razionale). Considerando pertanto la congruenza r come una 

 superficie, e le serie oo 1 di / contenute rispettivamente nelle F di una serie a 

 come curve di questa superficie, la r ci apparirà come una superficie con- 

 tenente una serie razionale oo 1 di curve razionali. E una tale superficie è 

 sempre razionale ('). 



Per giungere alla stessa conclusione nel secondo caso, quando cioè vi è 

 soltanto una semplice infinità di superficie F, basterà dimostrare che è razio- 

 nale questa serie oo 1 . Ora, anzitutto le oo 1 superficie F formano un fascio, 

 ossia per un punto generico di V ne passa una sola : quest' una deve infatti 

 contenere la (unica) y passante per questo punto, e quindi tutte le / che 

 si appoggiano a questa y; è dunque completamente individuata. Di più, se 

 esiste su V una congruenza T" analoga a r e f, le cui linee /' non stiano 

 sulle F, il fascio delle F dovrà segare ciascuna di queste y" (che sono curve 

 razionali) in gruppi di un' involuzione, e sarà perciò anche razionale. Se invece 

 lo stesso fascio appartiene a tutte le altre congruenze analoghe a r e T\ 

 esso (come unico del suo tipo) sarà necessariamente invariante rispetto al 

 gruppo proiettivo G; e questo gruppo, transitivo rispetto alla varietà V, dovrà 

 operare su di esso in modo almeno oo 1 : di qui segue appunto la razionalità 

 del detto fascio. 



Osserviamo a tal uopo che una serie continua qualsiasi a di varietà alge- 

 briche F di uno spazio S r può sempre considerarsi come una varietà \i di 

 uno spazio opportuno, tale che alle eventuali collineazioni di S r le quali mu- 

 tino la serie <r in sè stessa corrispondano sopra ^ trasformazioni anche pro- 



(i) Castelnuovo, Sulle superficie algebriche che contengono una rete di curve iper-, 

 ellittiche (Eend. della E. Acc. dei Lincei, 1° senti. 1894). 



