Introduciamo x al posto di t come variabile di integrazione, e rappre- 

 sentiamo con Xi , x 2 i valori di x, che, a norma di x = f -f- et, corrispon- 

 dono rispettivamente a ti , t% . Tenuto conto che u = — , si ha 



aX 



m = s \c(x t — xi) — [<p{Xi , y) — q>(x l , y)] ( , 



e la circostanza che m deve rimanere finito, qualunque siano ti , ^ (e di 

 conseguenza Xi,x 2 ), equivale, come tosto si riconosce, a quest'altra: La 

 funzione 



(4) <P(x , y) = g>(x ,y) — cx 



si mantiene finita, anche al crescere indefinito di x, per tutti i valori di y 

 inferiori alla minima ordinata della linea libera l . Quest' ultima restrizione 

 si può togliere, ritenendo in definitiva <P(x , y) finita,, anche all'infinito, 

 in tutto il campo L del moto. Per giustificarlo, basta pensare che, da un 

 punto qualunque di L, si può raggiungere un punto profondo, scendendo 

 verticalmente di un tratto finito (inferiore alla massima ordinata della linea 

 libera). Il divario fra i valori di <P in questi due punti non può superare 

 il prodotto della differenza di livello per il limite superiore di 



~*y 



che è per ipotesi finito, c. d. d. 



5. — Introduzione delle variabili complesse. 



Segue dal n. 1, ed è del resto notorio, che, posto 



/ z — x + i y , 

 (5) /.= SP + #, 



[ w = u — tv , 



f e w risultano funzioni della variabile complessa g, uniformi della striscia L, 

 sussistendo l'identità 



<«) 



Le premesse concernenti u , v assicurano che w è regolare in L e rimane 

 ovunque (anche all'infinito) finita e diversa da zero. Quest'ultima circo- 

 stanza segue dall'essere positivo il limite inferiore di u [n. 2]. 



Quanto ad f, il relativo comportamento risulta subito dall'osservare 

 cho xfj rimane finita [n. 1], mentre <p differisce da ex per una Q>(x,y) 

 pure ovunque finita [n. prec.]. 



