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proseseguivo allora in rapporto alla base della superficie considerata dal 

 sig. Severi), fu da me rimandato ad altra occasione. Oggi ritornando sul pro- 

 blema, e limitandomi per ora al caso in cui il fascio delle C sia lineare, 

 sono pervenuto ad una conclusione inaspettata: 



Ogni superficie contenente un fascio lineare di curve ellittiche C di 

 ordine n, possiede infinite curve secanti le C in gruppi di n punti non 

 equivalenti ed i cui multipli sono pure non equivalenti ; per conseguenza 

 ammette una serie discontinua di trasformazioni birazionali in se stessa. 



2. Premettiamo alcune osservazioni sulle curve ellittiche. 



Quando sopra una curva ellittica C è dato un gruppo di n punti G„ 

 si può costruire razionalmente in funzione di esso: 



1) la serie lineare completa gl~ l a cui il Gr„ appartiene; 



2) un qualsiasi multiplo g r r n~ l {=rg n ) della serie anzidetta. 



In generale non è possibile costruire razionalmente altre serie ed in 

 ispecie serie g m di grado m<Cn. Così le superficie ellittiche di determi- 

 nante n (p a = — l , p g = 0) (') porgono esempio di superficie contenenti 

 un fascio lineare di curve ellittiche, tutte identiche fra loro, sopra le quali 

 non si può determinare (razionalmente) un gruppo di m <C. n punti. 



Se la curva ellittica G è data proiettivamente come curva d' un certo 

 ordine m, por es. nel piano, la serie g m segata su di essa dalle rette deve 

 considerarsi come data. Allore se è dato anche un gruppo Gr n , non appar- 

 tenente a quella, si possono costruire razionalmente anche 



3) le serie 



rg n -f sg m , 



dove r , s ricevono valori positivi o negativi tali che 



rn ~\~ sm ]> 0 . 



Pertanto se sopra una curva ellittica C si suppone dato unicamente 

 un gruppo Gr„, bisogna supporre che la curva C stessa sia proiettivamente 

 data mediante una serie multipla di g n , cioè che la C sia d'un certo or- 

 dine rn, con r intero =>1, e che G„ sia il gruppo dei punti di contatto 

 d'una retta (o d'un piano . . .) avente n contatti r-punti colla curva. 



In particolare quando si parlerà di una curva ellittica su cui è dato 

 razionalmente un punto, si dovrà riferirsi a una curva C„ d'un certo or- 

 dine n che apparterrà ad uno spazio S„_! o sarà proiezione di una siffatta 

 curva normale, sulla quale il punto dato sia il punto di contatto d'un iper- 

 piano n tangente. Sarà in nostro arbitrio di fissare il valore di n , e — pren- 

 dendo n = 3 — si potrà avere in funzione razionale del punto dato una 

 trasformazione della nostra curva in una cubica su cui è dato un flesso. 



Data una curva ellittica e sopra di essa un punto qualsiasi è sempre 

 possibile trasformarla in una cubica su cui è dato un flesso, senza aggiunta 



( l ) Cfr. F. Enriques, Eendiconti del Circolo matematico di Palermo, tomo XX, 

 5 marzo 1905. 



