d'irrazionalità numeriche. Invece data una cubica con un flesso, ogni tras- 

 formazione di questa che conduca per es. ad una nuova cubica su cui sia 

 dato un punto non di flesso, richiede operazioni irrazionali sui coefficienti 

 dell'equazione della curva e sulle coordinate del punto dato. 



Così appare che sopra una curva ellittica su cui è dato un punto non 

 è possibile in generale costruire razionalmente un altro punto. 



3. Ora suppongasi data una superficie P contenente un fascio lineare 

 di curve ellittiche C , ed una curva K unisecante le C . In base alle osser- 

 vazioni precedenti si può sempre trasformare le C in cubiche su cui è dato 

 un flesso, e poiché questa trasformazione si compie razionalmente per ogni C, 

 essendo data la K , così si riesce a trasformare birazionalmente la superficie 

 data in una P„ d' un certo ordine n con retta (n — 3)pla e con un punto 

 (n — 2)plo su questa, costituente un flesso per le cubiche C. Si può anche 

 supporre che la retta (n — 3)pla sia tangente di flesso per tutte le cubiche C. 



Dal punto (n — 2)plo la superficie si lascia proiettare sopra un piano 

 doppio con curva di diramazione D d'un certo ordine 2m dotata d'un punto 

 (2w — 3)plo 0. 



Consideriamo, in questo piano, le curve d'ordine p passanti p — 1 volte 

 per 0; esse formano un sistema lineare di dimensione 



PÌP + 3) p{ p — 1) _ 



Una di esse, interseca D nel punto 0 contato (2m — 3) (p — 1) volte e in 

 2mp — {2m — 3) (p — 1) = 2m + 3(jo — 1) 



punti variabili ; se p è dispari, e quindi p — 1 è pari, in 0 non cadono 

 punti di diramazione della curva doppia L . Inoltre per ogni contatto che L 

 abbia con D, spariscono 2 fra i 2m-\-3(p — 1) punti di diramazione. Se 



si hanno m -j ^~ contatti, cioè se la L tocca la D ovunque la in- 



contra. l'immagine di L sulla superficie F„ dovrà spezzarsi in due curve 

 unisecanti le C. La determinazione di una L per cui ciò avvenga importa 



m + 



equazioni, provenienti dalla bisezione dei periodi delle funzioni abeliane re- 

 lative a D ; a codeste equazioni si può soddisfare certo in un numero finito 

 di modi se si prende 



3(j> — 1) 



cioè 



p = 2m — 3. 



