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Per tal guisa si determinano dunque sopra F„ due curve unisecanti 

 le C , ed è facile vedere che — considerando una qualunque di esse L, — 

 il punto che 1^ determina sopra una C generica è tale che un suo multiplo 

 qualsiasi non è equivalente all'equimultiplo del flesso dato, giacché in cor- 

 rispondenza alle tangenti ad L in 0 si hanno curve ellittiche C su cui i 

 due punti vengono a coiucidere, il che importa che la differenza dei valori 

 dell' integrale ellittico C nei due nominati punti non possa essere sempre 

 uguale ad una frazione di periodo, al variare di C. 



In conclusione, se una superficie P contiene un fascio lineare di curve 

 ellittiche C ed una curva unisecante le C , si può costruire una seconda uni- 

 secante, per modo che i punti segati dalle due unisecanti sopra una G ge- 

 nerica sieno disequivalenti insieme coi loro multipli. 



4. Si abbia ora una superficie F contenente un fascio di curve ellit- 

 tiche C ed una curva K secante le G in un certo numero n di punti, per 

 modo che su ogni C venga data una g"~ l . 



Siamo in questo caso se per es. le curve C sono d'ordine n . 



Consideriamo tutte le g"~ l di una curva ellittica C. Esse costituiscono 

 gli elementi (punti) d'un ente ellittico C', che può ritenersi come una curva 

 nascente da C per mezzo di una nota trasformazione. 



Alla serie g„ che si suppone data sulla C corrisponde un punto razio- 

 nalmente dato su C. 



Al variare di C, C varia pure e descrive un ente algebrico a due di- 

 mensioni o superficie P', contenente un fascio lineare di curve ellittiche 0' 

 ed una curva K' unisecante le C 



In forza del n. 3 si può determinare su F' una seconda unisecante I/, 

 e così si riesce a determinare sopra ogni C un'altra serie g n disequivalente 

 alla data g n , ed anzi tale che due multipli delle anzidette serie non sono 

 equivalenti. 



Tanto basta perchè sopra ogni C venga razionalmente determinata una 

 trasformazione birazionale non ciclica 



A' = A + g n — g n , 



e quindi perchè si ottenga una trasformazione birazionale non ciclica della 

 superficie F. c. d. d. 



"Rendiconti. 1912, Voi. XXI, 1° Sem. 



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