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«is Vn + «2 S V i2 -\ (- a is v u = 0 , 



«is «21 4" «ss «22 H ~H «fa «2i = 0 , 



«fa Vn + «2s «tó + - + Ois % — 0 . 



Da queste risulta: 



j («1S ^1 + « 2S ^2 H h «fa ^ = 



= aj s («is + «2s «12 H }- «,■„ «li) + 



+ «2S (ais «21 + «2s «22 + + «fa «2i) + 



+ «ii + «2 S «i2 H h «fa va) = 0 ; 



e quindi, ia virtù della continuità delle u x , u 2 , ... iti , si avrà in tutto il 

 campo t ; 



(5) +«2 S M 2 + •••+«.•« Mi = 0, (s== 1 , 2, »— p), 



E poiché gli ? — p sistemi (3) sono linearmente indipendenti, avremo 

 che le i—p relazioni lineari omogenee (5) tra le u x ,u ìy ....Ui saranno 

 anch'esse linearmente indipendenti. 



3. Viceversa supponiamo che le Ui,u tì ... m siano legate da i—p re- 

 lazioni, ed i — p solamente, linearmente indipendenti come le (5). Allora 

 gli i—p sistemi di costanti saranno linearmente indipen- 



denti. Inoltre dalle (5) si avrà: 



0 = X u ^ ttu Wl + a *« M H h a " «*0 ^ = «is « 0 i + «* s « 0 2 H h « is y ot - , 



ossia gli ^ sistemi di costanti « u , « 2s , ... « is soddisferanno al sistema 

 di equazioni (4); e quindi la caratteristica del determinante è non mag- 

 giore ài p. Per altro la caratteristica di D non può essere minore di p; 

 perchè altrimenti, in virtù del risultato precedente, dovrebbero sussistere tra 

 le Ui , % , ... Ui più di i- — p relazioni lineari omogenee e linearmente indi- 

 pendenti, contrariamente all'ipotesi fatta; quindi la caratteristica di D 

 deve essere uguale a p. 



Riepilogando si ha: se la caratteristica del determinante D è p, le 

 funzioni u x ,u», ... u* saranno legate da i — p reiasioni lineari omogenee 

 e linearmente indipendenti; e viceversa. 



4. Il risultato precedente si può enunciare dicendo che se p è la ca- 

 ratteristica di D, p delle funzioni th., u t , ... ut, e p solamente, saranno li- 



tali che: 

 (4) 



