— 22 — 



La (2)' rappresenterà quindi la soluzione più generale del sistema 

 di equazioni integrali (1). 



Riepilogando si ha: se p è la caratteristica del determinante D, 

 p e p solamente delle funzioni Ui ,u 2 , ... ìk saranno linearmente indipen- 

 denti : se Ui,Un, ... u p sono le p funzioni linearmente indipendenti, se le 

 (6) esprimono le u p+1 , u p+2 , ... Ui mediante le Ui,u Zì ... u p ; condizione 

 necessaria e sufficiente affinchè il sistema di equazioni integrali (1) am- 

 metta una soluzione è che le À. 1 ,k z ,...A i soddisfacciano alle condizioni (7); 

 se queste condizioni sono soddisfatte, la soluzione più generale del si- 

 stema (1) sarà data dall'espressione (2)' di q, nella quale n è una fun- 

 zione arbitraria del campo t atta alV integrazione. 



5. Ci proponiamo ora di determinare le relazioni (6), e quindi ancora 

 le condizioni (7), nell' ipotesi sempre che w, , u 2 , ... u p siano linearmente in- 

 dipendenti, ossia nell'ipotesi che J sia il minore simmetrico di ordine più 

 alto che non si annulla nel determinante D. 



A tal uopo si osservi che si ha, come è facile verificare, 



(8) 



V u ...V lp Ux 



Vpi ... Vpp Up 

 V^p+tyl ••• V(p+i)p Up+t 



dt = v n Vìi ... Vi 



V\p ^up-t-l) 



Vpi ... Vpp Vp(p^i-) 

 Vip+t)l ••• V(p+t)p V (p+t) (jj+l) 



= 0; 



quindi ('), in virtù della continuità delle funzioni u, si avrà in tutto il 

 campo t: 



(6)' 



>lp Up 



Vpp Up 



V(p+t)l ••• V(p+t)p Up+i 



= 0. 



Facendo variare t da 1 ad i — p, si hanno i — p equazioni, che 

 sono appunto le equazioni (6); e quindi le condizioni (7) saranno: 



{!)' 



.. v 



ip 



A, 



V( P +i)\ ••• v (p +t)p Ap+t 



= 0, (t=l,2,...i— p). 



(*) Dall'analisi che precede risulta indirettamente che se tutti i minori simmetrici 

 del determinante D di ordine superiore a p si annullano, mentre uno almeno tra quelli 

 di ordine p è diverso da zero, la caratteristica di D è p. Questa proposizione ha un 

 valore pratico nei casi particolari; essa può dimostrarsi direttamente, valendosi di for- 

 inole analoghe alle (8). 



