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Per questo rammenteremo intanto che, come per la prima volta fu sta- 

 bilito esattamente dal prof. Pizzetti ( 1 ), nota l'azione esterna di un pianeta, 

 sono determinate le differenze fra i momenti principali d' inerzia del pianeta 

 stesso. Allora, poiché per ipotesi è noto ancora il moto rigido del pianeta 

 attorno al suo baricentro, facendo uso delle equazioni di Eulero, risulteranno 

 determinati i tre momenti principali d'inerzia A,B,C. 



Osserviamo che basta qui tener conto della conoscenza di uno solo dei 

 tre momenti principali d'inerzia; infatti se per es. si suppone noto A, gli 

 altri due B e C si potranno determinare mediante le suddette differenze, e 

 quindi, in virtù del teorema di Pizzetti, mediante l'azione esterna del pianeta. 



Ora si rammenti che, come fu dimostrato nella mia citata Nota (§ 6), 

 condizione necessaria e sufficiente affinchè l' integrale 



^gJJdt 



sia invariante rispetto a J 2 g, è che la funzione U sia armonica; sicché, 

 essendo J 2 £ t = 2, avremo che nessuno dei momenti principali d'inerzia è 

 pienamente determinato dalla sola conoscenza dell'azione esterna del pianeta; 

 e per conseguenza la ulteriore conoscenza dei momenti principali d' inerzia 

 del pianeta, ossia l'ulteriore conoscenza del moto rigido del pianeta attorno 

 al suo baricentro deve dare un nuovo contributo sulla determinazione della 

 densità q. 



9. Per la determinazione di questo nuovo contributo basterà, come si 

 è già osservato, tenere conto della conoscenza di uno solo dei momenti prin- 

 cipali d'inerzia, ad es. di A, e indi fare uso dell'espressione analitica di A, 

 che si ottiene sostituendo nella prima delle (9) al posto di q il secondo 

 membro della (10). Noi però qui ci varremo dell'espessione equivalente più 

 semplice, che si ottiene dalla forinola generale (9) della mia citata Nota, 

 facendo U = £ 2 . In questo modo si avrà: 



(11) k=j Q ^dr= f(W — WxMV^-H 

 dove 



e dove Wi ha un significato che qui è superfluo richiamare; sicché posto: 



Al = A _ f/vi^B _^w,^Ls, 



J<p\ dn dnj 



(') Intorno alle possibili distribuzioni della massa nell'interno della Terra (An- 

 nali di matematica, tom. XVII, ser. II, pag. 233). Cfr. mia cit. Nota, §§ 4, (f). 



Rendiconti. 1912, Voi. XXI, 1° Sem. 4 



