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Matematica. — Sulle condizioni sufficienti per il minimo nel 

 calcolo delle variazioni. (Crii integrali sotto forma parametrica) . 

 Nota IY di Eugenio Elia Levi, presentata dal Socio L. Bianchi. 



4. Per dimostrare il teorema enunciato al num. 1 della Nota III (*) 



0 



cominciamo col calcolare la variazione totale di I quando si passa da KaS. 



' 0 0 fj 



Indichiamo con F , I\ ... i valori di F , Fi ... quando per x,y,x',y' 

 si ponga x , y , x' , y' '■ saranno queste funzioni di s . Avremo : 



Al= \F{xy\x'y')dt — ) ìds = 

 \?(xy;x'y')-¥s'-]dt= ( 2 ) 



(21) 



= &(xy;x'y';x'y')dt + [F(xy ; x'y') — F] s'dt + 



J 0 ^0 



+ C\(x' - x's') ¥' x r{xy ; x'y') + (y' - y's') F y ,{xy ; x'y')l dt 



poiché per le note proprietà di omogeneità di F è 



&(xy ; x'y' ; x'y') = x' [F'Axy ; x'y') F x ,{xy ; £?)] + 



+ y'[F' y r(xy ; x'y') - F y ,{xy ; *?)] = 

 = F{xy ; x'y') - ¥(xy ; x'y') s' — (x' — x's') F^xy ; x'y) — 



-{y'-y's')F y ,{x r ,x'y'). 



Sviluppiamo mediante la formula di Taylor la differenza contenuta nel 

 secondo integrale dell'ultimo membro di (21): da (5) si avrà 



f T [F(^ ; x'y') - F] s'dt = t\{hy' — F y x') s'dt -f- 



(22) 



+ ^ p-« K £' 2 - 2 x'y' + 1J. «tt + ^ J/*'» 3 ^ 

 dove A' è un polinomio in a't/', i cui coefficienti sono valori delle derivate 



(') Questi Eendiconti, pag. 541. In questa Nota per maggiore comodità la numera- 

 zione dei n. e delle formule continua quella della Nota precedente. 



( a ) In questo e negli integrali che seguono quando la variabile di integrazione è t 

 si sottintende che nelle funzioni di s si pone per s la s(t) definita nel n. 2. Si noti ancora 

 che generalmente la formula del cambiamento delle variabili negli integrali si enuncia 

 nell'ipotesi che il cambiamento di variabile sia invertibile: però almeno per scrivere 



l'uguaglianza che qui ci bisogna I F(s) ds = J F(s(t))s'dt, tale ipotesi non è neces- 

 saria; cfr. ad es. Baire, Lepons sur les théories génémles de Vanalyse, voi. I, pag. 82. 



