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Rammentiamo il valore di F 2 ( l ) e le limitazioni sopra ottenute per 

 X ,X",X": otterremo subito, sostituendo in (21) 



Al =£&{xy ; x'y' ; x'y') dt + F 2 Ut + |] J/" 8 (*i» + **»') dt ; 



dove A, = s'(X' + 3A'"A) , h = Si" sono funzioni di t tali che 



(23) |A,|<16M(l + 3*) , |A 2 |<24M. 

 Sostituendo nella formula precedente la (19), si ha 



A I = J* 1 | (E>' a + F 2 o>V) + (A B « + A,»') «" + 



+ Ti + W) « 2 + A 4 (l — (1 + A») *') rff . 



Essendo X 3 e A 4 discontinue gli integrali si intenderanno qui nel senso di 

 Lebesgue. Inoltre essendo U — 0 in %, V integrale relativo all'ultimo termine 

 potrebbe estendersi a Xi soltanto. 



5. Ciò posto si introduca l'ipotesi 3 a : e sia u(s) una soluzione di 



(24) ^(hu')-hu = Q 



finita, di classe C" e =j= 0 in (0 , a). Supponiamo precisamente 

 {25) 0 < mj ,< u .< m 2 \u'\<m s . 



Poniamo 



(26) m{t)=p{t)u{s{t)); 



p(t) si annullerà per t = 0 e t—%. Sarà inoltre per (8), (8) 6<s e (25), e 

 ricordando che si suppone |ft>|0 con r < 1, 



(27) |p|<^ . 1/1 = 



co — jow s 



Inoltre ricordando che in / è s r > 0, sarà per (11) 



f V ^ 2 & ^ f M * ^ = f ( w ' 2 — ■P VV * ~ 2 /^ W& ') ^ = 

 <Jo J y. J y. 



= f [(1+ ( 1+ kv) s') ( 1— (1+ Ao») s') — (p Vs'+ 2^W) s'] dt . 



(28) > f ^ _ j» (1 _|_ Aw _j_ ^ M « s ' _j_ 2/»pWj] <ft > 

 -oc 



> J [1 - s'(l + Hr)] <*/ = z — ( 1 + Hr)J Ut 



i 1 ) Cfr. ad es. Kneser Lehrbuch der Variationsrechnung, pag. 92. 



