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Meccanica. — Sul teorema di Whittaker. Nota di A. Signo- 

 rini, presentata dal Socio T. Levi-Civita. 



In un lavoro attualmente in corso di stampa, dal titolo: Esistenza di 

 un'estremale chiusa dentro un contorno di Whittaker ho dimostrato un 

 teorema del calcolo delle variazioni ( 2 ) in base al quale resta perfettamente 

 giustificato il ben noto criterio di Whittaker ( 3 ) per la ricerca di orbite pe- 

 riodiche. Sulla validità di tale criterio si poteva avere qualche dubbio, nel 

 ragionamento addotto dal Whittaker per giustificarlo essendo ammessa a priori 

 l'esistenza di un minimo assoluto per una funzione continua d'infinite va- 

 riabili. 



In questa Nota espongo la dimostrazione del teorema di Whittaker che 

 è implicitamente contenuta nel lavoro sopra ricordato, tralasciando tutti 

 quei particolari della dicitura e del ragionamento che servono soltanto a 

 renderla perfettamente rigorosa. Kesterà così posto bene in evidenza il me- 

 todo cui è informata tale dimostrazione, e questo può avere qualche inte-^ 

 resse, il metodo stesso prestandosi bene anche ad altre applicazioni. 



Consideriamo in un piano (x , y) il movimento di un punto sotto l'azione 

 di una forza conservativa derivante da un potenziale Y(x , y). Le traiettorie 

 di un tale sistema dinamico per le quali sia h il valore della costante del- 

 l'energia, coincideranno colle estremali dell'integrale che misura «l'azione 

 delle forze impresse » 



a = f\h - Y(x , y)|* \{dxf + [dyf }* , 



di modo che una curva ordinaria del piano (x , y) chiusa e senza punti an- 

 golosi ci fornirà un'orbita periodica di tale sistema dinamico per la quale 



(') Eendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Tomo XXXIII. 



( s ) II mio lavoro era completamente redatto quando nei « Eendiconti del Circolo 

 Matematico di Palermo » (Tomo XXXII, fase. 3°) è comparsa una Memoria del prof. L. To- 

 nelli, nella quale l'A. perviene a risultati sostanzialmente identici a quelli a cui sono 

 arrivato io nel lavoro in questione. Nondimeno non credo del tutto priva d'interesse la 

 pubblicazione di tale lavoro e della presente Nota, perchè il metodo di cui mi sono ser- 

 vito è del tutto differente dal metodo delle « successioni minimizzanti » di cui si è servito 

 il prof. Tonelli, e non è, come quello, perfettamente comprensibile altro che a chi abbia 

 familiari molte delle più delicate questioni di analisi. 



( a ) Monthly Notices E. A. S., LXII, pag. 186. 



