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sia h il valore della costante dell'energia, allora e allora soltanto che sia 

 un'estremale chiusa dell'integrale €L. 



Dati due punti P , Q del piano (a,y), tutte le volte che essi siano 

 stati scelti sufficientemente vicini in base a ben noti teoremi relativi ai pro- 

 blemi di calcolo delle variazioni definiti, potrà affermarsi che esiste un'estre- 

 male di a che congiunge i punti P , Q, differisce poco dal segmento PQ, e 

 fornisce per l'integrale £X un valore minore di quello che per l'integrale 

 stesso è fornito da una qualunque altra curva ordinaria del piano (xy) con- 

 giungenti i punti P , Q. 



Nel seguito chiameremo tale estremale il segmento estremale che unisce 

 i punti P,Q; diremo poi che un'area A del piano (x,y) è limitata da un 

 contorno di Whittaker relativo all'integrale €X, quando accada che il seg- 

 mento estremale che unisce due punti molto vicini del contorno di A appar- 

 tenga sempre interamente ad A . 



Colle denominazioni introdotte, all'enunciato del teorema di Whittaker 

 si può dare, senza diminuirne affatto la generalità, la forma seguente: 



Se un'area A del piano (x , y), limitata da un contorno di Whittaker 

 relativo all'integrale 



\k-V(x,y)\* l(dxf + (dyy 



è multiplamente connessa (e quindi contiene circuiti non riducibili per de- 

 formazione continua ad impunto), esiste sempre tra questi circuiti un'or- 

 bita periodica del sistema dinamico considerato per la quale il valore della 

 costante dell'energia è h, cioè uu estremale chiusa di €L. 



Prima di passare alla dimostrazione di questo teorema, osserveremo che 

 la condizione che l'area A sia circondata da un contorno di Whittaker porta 

 di conseguenza che il segmento estremale determinato da due punti molto 

 prossimi appartenenti ad A appartiene interamente ad A anche se i due punti 

 in questione non giacciono ambedue sul contorno di A. Infatti — potendosi 

 dimostrare che una parte qualunque di un segmento estremale è ancora un 

 segmento estremale — l' ipotesi contraria costringerebbe ad ammettere che è 

 possibile trovare sul contorno di A due punti vicinissimi, congiungibili me- 

 diante un segmento estremale non appartenente interamente ad A. 



Immaginiamo l'area A decomposta, mediante un doppio sistema R di 

 archi di curve aventi i loro estremi sul contorno di A e appartenenti inte- 

 ramente ad A, in un numero finito N di areole (semplicemente connesse) 

 a ) ' a% ' '•; a N così piccole che, scelto arbitrariamente un punto P sul contorno 

 di una di esse a, esso possa esser congiunto mediante un segmento estre- 

 male ad un punto qualunque Q del contorno di a o di un'areola adiacente 



