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(cioè tale che il suo contorno abbia almeno un punto in comune col con- 

 torno di a). 



Chiameremo spezzata estremale chiusa di p lati ogni curva ordinaria 

 chiusa (appartenente interamente ad A) che si possa immaginare ottenuta: 

 1° scegliendo sopra R una successione di p punti — che diremo 

 vertici della spezzata estremale — tali che due qualunque successivi (e 

 l'ultimo e il primo) appartengano al contorno di una stessa areola a; 



2°) congiungendo ognuno di tali punti col successivo (e l'ultimo col 

 primo) mediante il segmento estremale determinato dai punti stessi — eli e 

 diremo lato della spezzata estremale — • 



Potrà darsi il caso che più lati successivi di una spezzata estremale 

 chiusa si raccordino nei vertici comuni e costituiscano un unico segmento 

 estremale avente i suoi estremi sopra R ma non sul contorno di una stessa 

 areola a: viceversa una curva chiusa costituita dall'insieme di più segmenti 

 estremali aventi tutti i loro estremi sopra R, sarà sempre una spezzata estre- 

 male chiusa. 



Indicheremo con n il massimo numero di lati che può fornire ad una 

 spezzata estremale chiusa un segmento estremale avente i suoi estremi 

 sopra R: numero che sarà certamente finito, un segmento estremale non po- 

 tendo avere in comune con R altro che un numero finito di punti. Per la 

 nostra dimostrazione è essenziale prendere in esame la varietà di curve 1 

 costituita dalle spezzate estremali chiuse che: 



1° avvolgono uno almeno dei contorni interni di A; 

 2° non hanno più di N + n — 2 lati. 



Tale varietà dipende da un numero finito di parametri, quindi l'insieme 

 dei valori assunti da a sulle spezzate appartenenti a 2 ammetterà un mi- 

 nimo assoluto a cui corrisponderanno una o più spezzate della varietà stessa 

 che diremo minimizzanti. 



Evidentemente il nostro teorema resterà dimostrato se faremo vedere 

 che ciascuna delle spezzate minimizzanti non ha punti angolosi: perchè 

 ciò porta di conseguenza che ciascuna di tali spezzate è un'estremale chiusa 

 dell'integrale €L 



Cominciamo dal dimostrare che una spezzata minimizzante S m non può 

 avere più di N lati. 



Se S m ha più di N lati, due almeno di essi dovranno avere ambedue 

 gli estremi sul contorno di una stessa areola a. Siano allora P,Q due ver- 

 tici di S m appartenenti ai due lati in questione, ma non consecutivi sulla 

 S m . I due punti P , Q giacendo sul contorno di una stessa areola a , esisterà 

 un segmento estremale avente per estremi i punti stessi : segmento estremale 

 che non farà parte della S m — perchè i suoi estremi appartengono al con- 

 torno di una stessa areola a e non sono vertici consecutivi di S m — e co- 



