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stituirà insieme a ciascuna delle due successioni di segmenti estremali in 

 cui la S TO resta decomposta dai punti P , Q , due spezzate estremali chiuse 

 S*^ , S£>. Per la proprietà di minimo dei segmenti estremali, è evidente che 

 su ciascuna di queste due spezzate il valore di £1 è minore che sulla S m . 

 D'altra parte, appartenendo S m alla varietà 2, uno almeno dei contorni in- 

 terni di A dovrà essere incluso in S m , e quindi anche in S^> o S£f, essendo 

 queste due curve totalmente interne ad A . Vediamo dunque che l' ipotesi 

 che S m abbia più di N lati porta di conseguenza che esiste un elemento 

 di 2 pel quale il valore di €X è minore che su S TO , e questo è as- 

 surdo. 



Dimostrato che 8 m non può avere più di N lati, potremo far vedere 

 facilmente che S m non ha punti angolosi. 



Supposto infatti che S m abbia un punto angoloso, sopprimiamo in S m 

 i due lati ad esso adiacenti, e congiungiamo gli estremi P , Q della curva 

 aperta così ottenuta (cioè punti appartenenti al contorno di una stesso areola a 

 o di due areole a adiacenti) mediante il segmento estremale da essi indivi- 

 duato. Per provare il nostro asserto, basterà dimostrare che la curva chiusa S£ 

 cui così perveniamo è una spezzata estremale chiusa della varietà 2, perchè 

 per la proprietà di minimo dei segmenti estremali possiamo esser sicuri che 

 il valore dell' integrale €X sopra S* è minore che sopra S TO . 



Intanto S* è certamente una spezzata estremale chiusa, essendo costi- 

 tuita dall'insieme di più segmenti estremali aventi i loro estremi sopra R. 

 Inoltre il numero dei suoi lati non può superare N -j- n — 2, perchè il 

 segmento estremale avente i suoi estremi in P e Q può fornire alla S* al 

 più n lati, e d'altra parte il numero dei lati di S m , per quanto abbiamo 

 precedentemente dimostrato, non può superare N. Infine è facile vedere che 

 in S* è incluso uno almeno dei contorni interni di A: basta per questo 

 aver presente che uno almeno di tali contorni è incluso in S m . 



La S* è dunque una spezzata estremale chiusa della varietà 2, e ciò 

 è sufficiente, come abbiamo già detto, per dimostrare il nostro asserto. 



Osserveremo infine che ogni spezzata minimizzante rende minimo €L 

 non solo in 2 ma anche nella varietà (2) costituita da tutte quante le 

 curve ordinarie chiuse interne ad A, che avvolgono uno almeno dei contorni 

 di A. Infatti se C è una tale curva, esisterà sempre una spezzata S di 2 

 avente i suoi vertici sopra C . Il valore di 61 sopra C sarà certamente su- 

 periore al valore di €t sopra S, e questo prova quanto volevamo. 



L'esistenza di un minimo assoluto per l'insieme dei valori assunti da 61 

 sulla varietà (2), è appunto ciò che è ammesso a priori nel ragionamento 

 addotto dal Whittaker per giustificare il suo criterio per la ricerca di or- 

 bite periodiche. 



