— 82 — 



L'esempio che fornisse la prova dell'affermazione precedente mi è porlo 

 dalla nota varietà V 6 del 6° ordine di S 5 , intersezione di due varietà degli 

 ordini 2, 3. 



Già il sig. Fano ( : ), mediante un'analisi profonda, ha provato che co- 

 desta varietà (immagine del complesso cubico di rette) è in generale non 

 razionale. Io dimostro qui che essa può essere rappresentata sopra una in- 

 voluzione dello spazio S 3 . 



2, Consideriamo la varietà V 6 , a 3 dimensioni, dello spazio S 5 , inter- 

 sezione di una quadrica Q e di una varietà cubica. Ci sono sopra V 6 due 

 sistemi oo 3 di linee piane, cubiche, C, sezioni dei piani appartenenti a Q, 

 i quali formano appunto due sistemi 2,2'. 



Consideriamo le C segate dei piani di 2. Le C di questo sistema pas- 

 santi per un punto A di V 6 costituiscono una serie razionale, che viene 

 razionalmente rappresentata sopra una retta, senza aggiunta di irrazionalità 

 dipendenti dal punto A, come si vede mercè la rappresentazione kleineiana 

 di V 6 nello spazio rigato, dove ai piani di 2 corrispondono i punti di questo 



spazio. , , 



Ora sopra ogni C per A si può determinare razionalmente un punto, 

 cioè il tangenziale di A; al variare di C questo punto descrive una curva 

 razionale, K, passante per A con una certa molteplicità, che si trova facil- 

 mente essere 4. Ripetiamo la costruzione a partire da un punto A variabile 

 su V, e avremo infinite curve razionali K generanti una superficie razio- 

 nale F. Ripetiamo ancora la costruzione facendo variare A su F, ed otter- 

 remo oo 2 curve razionali K che invaderanno tutta la varietà V 6 . Queste K 

 si possono riferire birazionalmente alle rette di una stella data in S s . Per 

 tal modo ad ogni punto di S 3 corrisponderà un punto di V, , ma viceversa 

 ad un punto di V 6 , corrisponderanno più punti di S 3 , e i gruppi di punti 

 analoghi (al variare del punto corrispondente su V 6 ) genereranno in S 3 una 

 involuzione. 



Dunque la varietà V 6 si può rappresentare sopra una involuzione di b„ 

 la quale risulta non razionale. c - d - d - 



3 Come è stato notato dal sig. Noether (e successivamente da me) la 

 varietà cubica generale V 3 di S 4 si può rappresentare sopra una involuzione 

 di coppie di punti in S,. Il teorema sopra stabilito rende assai probabile 

 che la V 3 non sia razionale. A questa convinzione io sono giunto da qualche 

 anno per mezzo di un procedimento che aspetta ancora di essere rigorosa- 

 mente dimostrato, e che si basa sulle considerazioni seguenti: 



1) Se la V 3 è razionale esiste una sua rappresentazione su S 3 che non 

 degenera quando la V 3 acquista un punto doppio. 



(>) Sopra alcune varietà algebriche a tre dimensioni aventi tutti i generi nulli. 

 Atti Accad. di Torino, 1908. 



