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dove jÉ7' e designano i valori assunti da e v" per convenienti valori 

 di <p in C. 



Da (8), separando la parte reale dalla immaginaria, e ritenendo trascu- 

 rabili E, ed K 2 (salvo giustificare in seguito i limiti entro cui ciò è per- 

 fettamente legittimo), si ricava 



(9) x = fi — tpv' , y = v-\-xpfi'. 



La (6), per le precedenti, porge 



dx , . dy u-\-iv , . „ . ., , , 



ij + % = v^ = "-^ + •<»+*">• 



Da queste — colla accennata approssimazione — si ricava 



1 L , n a'v" — fi'v') 



Per questa e per la seconda delle (9), la condizione (4) dà luogo alle se- 

 guenti equazioni 



1 a'v" — fi"v' , , A 



(11) ^^^^ + 2?,== costante , ^ + ^ +9P=0. 



Queste equazioni, che determinano le due funzioni incognite }x(<p) e 

 v{(p) , stanno ad esprimere che V 2 + 2gy è costante, non solo sopra i peli 

 liberi xp = Q , tp == q (com'era prescritto) ma pur anco sopra ogni altra 

 linea di flusso ip = costante. 



Per integrare il precedente sistema giova introdurre due nuove funzioni 

 q e legate a (x e v dalle relazioni 



(12) ji' = ocos# , r'=esen#. 



Il sistema (11) si trasforma così (dopo di avere derivato ambo i membri 

 della prima rispetto a <p) noi seguente 



do . , d& , u 



(13) ^-^sen* , ^ = -^ 3 cos^. 



La integrazione di questo sistema è immediata. Per divisione si ricava 



— 0- == — q tg che integrata porge 

 d& 



(14) e = £ 0 cos-#, 



essendo o 0 la costante di integrazione. Se si porta questa espressione di q 

 nella seconda delle (13) si può facilmente ricavare la &(g>) e quindi, per 

 la (14) stessa, la o(<p). Per dedurre le equazioni parametriche delle linee 

 di flusso non abbiamo bisogno — come ora vedremo — di conoscere queste 



