Se ora conosciamo una funzione H tale che nel secondo membro della (3) 

 rimangano soltanto da determinarsi alcune costanti, allora diremo H prima 

 funzione ausiliare. 



Per esempio, se 



fossero polinomi nelle coordinate del polo k(x ,y,z), anche la grandezza (4) 

 sarebbe un polinomio nelle coordinate del polo. I coefficienti (costanti) si 

 potrebbero calcolare facendo successivamente tendere il polo verso altrettanti 

 punti del contorno (ove u è nota). 



La nostra ipotesi è più generale di quella di Green, poiché, posto al 

 contorno 



e nel campo (A 2 H) s = 0; la funzione regolare H diventa la funzione di 

 Green. 



Per un campo S limitato da due piani paralleli si determina facilmente 

 la funzione di Green, cioè, dunque, la funzione ausiliare che verifica rego- 

 larmente la A 2 — 0 in ogni punto, e acquista in ogni punto del contorno 



un valore eguale a quello ivi acquistato dalla funzione ^ (che è invece di- 

 scontinua nel polo). 



Siano f = h , f = — h i due rispettivi piani ; sia k 0 (x , y , s) un polo 

 in S , ki il punto simmetrico di A 0 rispetto a a x , e Al il punto simme- 

 trico di A 0 sispetto a o" 2 ; diremo in generale A 2i il punto simmetrico di 

 Aìi-i rispetto a o" 2 (lasciando che i prenda i valori dei numeri naturali): 

 e diremo A 2 j +1 il punto simmetrico di A 2J - rispetto a Cx . 



In modo analogo k' 2i+1 , A 2l - saranno fra di loro simmetrici rispetto a tf 2 , 

 e A 2 i_! , A 2 j rispetto al piano o", . 



La distanza fra A 0 ed un punto A di coordinate (£,??,£) indichiamola 

 con r ; poi con r„ , r\ le rispettive distanze di A da A„ , A' v ; cioè scriveremo 



- — H in ogni punto del contorno , 

 A 2 H in ogni punto del campo 



(5) 



(6) 



r? = (£ — x) 2 + (ri -*/) 2 + [£ + (- l) v (2/*f — z)J 

 r? = (£- xf ~f-0j- yf + [£-(- iy (2Ar + s)] 2 . 



Ciò premesso, la serie 



