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curva T con le curve C e C, situati fuori dei punti base. Dalle eguaglianze 

 precedenti segue l'altra: 



gT = Sì + 8g(G + C) - (TC) - (TC) - (tf + a') - 8 . 



Qui, rammentando che i generi delle due curve C e C sono stati chiamati 

 p e p', e che le curve medesime s'incontrano in m punti variabili si ha: 



g(C + C')=p+p'-{-m-l. 



Inoltre, il fascio (C) sega sopra una curva generica C una serie lineare di 

 ordine m, la quale possiede 2(m+p — 1) punti doppi; tanti sono dunque 

 i punti di incontro (variabili) della curva T con C ( l ); opperò si ha ancora: 



(TC) = 2(m+p-l) 



e analogamente: 



(TC') = 2(m+p' — 1). 



Infine, ponendo i valori di g(G + C) , (TC) e (TC) dati dalle formule pre- 

 cedenti, in quella che somministra il genere della curva T, e indicando 

 questo genere con n: , si conclude : 

 IV. « La curva T è del genere : 



(2) n = Sì + 4m + 6(p + p') — (tf-f-tf')— 12. 



2. Determinato in tal modo il genere n della curva T, si calcola fa- 

 cilmente prima il numero x delle curve dei due fasci (C) e (C), che fra 

 loro si osculano, e poi quello d delle curve, che hanno un doppio contatto, 

 valendosi delle relazioni, che legano questi due numeri a quel genere, rela- 

 zioni dovute al Segre, e dal Segre stesso applicate per risolvere i medesimi 

 problemi nel caso in cui la superficie F sia un piano ( 2 ). 



La prima delle due anzidette relazioni è questa: 



t — 2tt = 4m — (a -f a') — I — 6 



nella quale I indica l'invariante di Zeuthen-Segre della superficie F. Po- 

 nendo in essa in luogo di n il suo valore dato dalla formula (2), si ottiene: 

 I. * Il numero delle curve dei due fasci (C) e (C), che fra loro si 

 osculano, è: 



t = 2SÌ — I -f 12(m + p +/) — 3(<r + a') — 30 . 



( : ) Segre, loc. cit., ri. 2. 

 ( 3 ) Segre, loc. cit., n. 6. 



