— 250 — 



La seconda relazione è la seguente: 



d _|_ T -f- n = {2m -f- 2^0 — 3) (2m + 2/ — 3) 



dalla quale si deduce subito: 



II. « Il numero delle curve dei due fasci (C) e (C), che hanno fra 

 « loro un doppio contatto, è; 



d = l — 3i2 + 4[m(m + p + 6(^+/) — 7m + * + + 51. 



Dalle formule precedenti si ricavano quelle che si riferiscono al caso 

 in cui due fasci giacciono in un piano, ricordando che per questa super Bcie 

 particolare si ha: i2 = 10 , I = — 1. 



3. Sin qui si è supposto che i due fasci (C) e (C) non avessero alcun 

 punto-base comune. Ora si tolga questa restrizione: ma si continui a chia- 

 mare è e &' i numeri dei punti base non comuni, e si dica poi s quello 

 dei punti-base comuni; m indichi ancora il numero dei punti (variabili) comuni 

 a due curve generiche C e C. In questa ipotesi, ogni rete contenuta nel si- 

 stema |C + C'| possiede o + g' + s punti-base, e quindi in virtù della re- 

 lazione (1), il genere n della curva T è dato dalla formula, che si deduce 

 dalla (2), mettendo in essa a + a' + s al posto di a + a'. In tal modo e 

 ricordando che Sì è un invariante (relativo) della superficie P, si conclude : 



* L'espressione : 



(3) fi = 7i — 4m — 6(p +/) + (* + *' + *) + 12 



a formata con i caratteri di due fasci di curve dati ad arbitrio sopra una 

 u superfìcie algebrica, non dipende dalla scelta dei fasci medesimi». 



L'invariantività di questa espressione può essere dimostrata direttamente, 

 con un metodo affatto analogo a quello seguito da Enriques (>) per stabilire 

 l' invariantività del carattere Sì . 



Se poi i due fasci (C) e (C) si prendono in una medesima rete, e si 

 osserva che in questo caso la curva T si spezza nella Jacobiana della rete 

 e nella curva, che i due fasci hanno in comune, la espressione (3) si riduce 

 alla (1), e allora l'invariantività di questa ultima espressione è una conse- 

 guenza di quella della prima. 



Si noti infine che la espressione (3) può servire a calcolare l'invariante Si, 

 relativo ad una data superficie P, quando si scelgano i due fasci di curve (C) e 

 (C) in modo, che sia possibile calcolare direttamente il genere n della curva T 

 da essi determinata. Ecco due esempì: 



(>) Enriques, Introduzione alla geometria sulle superficie algebriche, n. 41, Memorie 

 della Società italiana delle Scienze, ser. Ili, tomo X, 1896. 



