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normale alla linea e la funzione delle forze) è rispettivamente positiva, ne- 

 gativa, allora tra Lj e L 8 esiste un'orbita periodica. La dimostrazione 

 del criterio, data da Whittaker, è fondata sull'esistenza di una curva che 

 renda massimo l'integrale dell'astone ; la quale esistenza non si vede come 

 possa essere rigorosamente stabilita ( ] ). In questa Nota e in altra successiva, 

 riprendendo la questione, si perviene a due criteri: il primo dei quali è 

 quello stesso enunciato più sopra, quando si invertano i segni della espres- 

 sione T sulle due curve Lj , L 2 ( 2 ); il secondo poi è di ancor più facile 

 applicazione, perchè in esso si elimina la considerazione della seconda 

 linea L 2 ( 3 ). 



1. Sia U{x , y) la funzione delle forze, h la costante delle forze vive. 

 Le equazioni del moto sono (prendendo uguale all'unità la massa del punto) 



d 2 x 7)U d*y 

 ( ' dt % ~ ' dt 2 ~ !>y ' 



Se a è l'angolo che la direzione positiva della normale n alla traiettoria 

 nel punto M.(x y) (*) fa con la direzione positiva dell'asse x, abbiamo, mol- 

 tiplicando le equazioni (1) rispettivamente per cosa e sena, e sommando 



d x x , d*y 7>U 

 — cos a -f- — sen a = — . 

 dt 2 dv l>n 



E poiché il primo membro di questa uguaglianza rappresenta l'accelerazione 

 normale alla traiettoria, presa col proprio segno o con segno contrario, a 

 seeonda che la traiettoria stessa rivolge la sua concavità verso l' interno 

 o verso l'esterno, abbiamo ancora 



Q M 



dove v indica la velocità del punto e 



1 x'y" — x"y' 



(') Si osservi che, in ogni caso, qui non può trattarsi che di massimo relativo, 

 debole, perchè la funzione che si deve integrare è sempre positiva. 



( 2 ) Con ciò, invece di un massimo, si può mostrare l'esistenza di un minimo. 



( 3 ) Una dimostrazione rigorosa del primo dei due criteri da noi stabiliti ci è perve- 

 nuta dal Dott. A. Signorini (« Sul teorema di Whittaker » in questi Rendiconti, 7 gennaio 

 1912) durante la correzione delle bozze di queste due Note. 



( 4 ) Prenderemo come senso positivo, su una curva chiusa, quello che lascia alla 

 sua sinistra i punti della regione interna della curva che sono prossimi all'arco percorso. 

 Prendiamo poi come direzione positiva della normale, quella che va verso l'interno della 

 curva. 



