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la curvatura della traiettoria (che è positiva o negativa a seconda che 

 quest'ultima rivolge la sua concavità verso l'interno o verso l'esterno) In- 

 troducendo perciò l'integrale delle forze vive, le equazioni del moto diventano 



(3) 2^^+^_2H = 0 



Q l>n ' 



la seconda delle quali determina le curve lungo cui il punto considerato 

 può muoversi sotto l'azione delle forze date, mentre la prima fissa, per ogni 

 posizione del punto la relativa velocità. 



Orbene, si tratta di riconoscere se il punto mobile, posto nel campo 

 di forza definito dalla U(# , y\ può percorrere delle traiettorie chiuse; vale 

 a dire, si tratta di vedere se esistono degli integrali periodici per l'equa- 

 zione differenziale del secondo ordine (3). 



La teoria delle equazioni differenziali non insegna a risolvere problemi 

 di simile natura ; i quali perciò devono essere trattati con altri mezzi che 

 variano di indole a seconda dei casi. Una via, pertanto, si presenta natu- 

 rale alla mente. E nota la relazione che passa tra i problemi di esistenza 

 degli intesali delle equazioni differenziali ed il calcolo delle variazioni- 

 più precisamente, è noto come la dimostrazione dell'esistenza di intesali 

 di certe equazioni differenziali ordinarie o a derivate parziali, i quali Sod- 

 disfino a prefissate condizioni, si riconduca a quelle dell'esistenza della so- 

 luzione di determinati problemi di minimo. Ebbene, questa intima relazione 

 fra questioni di natura apparentemente diversa, ed il successo che talvolta 

 ha coronato analoghi tentativi, ci suggeriscono di avviarci verso la trasfor- 

 mazione del nostro problema in un problema di minimo, per poi tentare la 

 risoluzione di quest'ultimo. Disgraziatamente, se la trasformazione detta ce 



I offre senz'altro il principio della minor azione, il calcolo delle variazioni 

 non è altrettanto sollecito a darci la risoluzione del problema così ottenuto 



II metodo classico che ha dominato finora il calcolo delle variazioni presup- 

 ponendo la esistenza dell'integrale della relativa equazione differenziale di 

 Eulero, ci riporterebbe, con un giro vizioso, al punto di partenza, senza averci 

 procurato vantaggio alcuno. Tuttavia la questione non è disperata. All' infuori 

 del metodo classico vi è ancora spiraglio di luce: vi sono altri modi di ra- 

 gionare, che permettono, in taluni casi, di mostrare direttamente l'esistenza 

 della soluzione in problemi di minimo. Ed è da questa parte che noi ci 

 rivolgeremo, e ci gioveremo dei risultati ottenuti, nell'indirizzo detto, nella 

 nostra Memoria: Sui massimi e minimi assoluti del calcolo delle varia- 



,y ). Vero è che non riusciremo per questa via a determinare la condi- 



zioni 



('J Rcnd. del Circolo Matem. di Palerai, t. XXXII (1911). 



