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zione necessaria e sufficiente per l'esistenza di orbite chiuse; giungeremo 

 però a stabilire dei criteri atti a far riconoscere tale esistenza, il che è 

 appunto quanto abbiamo a principio annunciato. 



2. In base al principio della minor azione di Maupertuis, una curva aperta 

 C (A , B), la quale sia interna al campo definito dalla disuguaglianza 

 U(# , y) -f~ h > 0 ed abbia la tangente variabile in modo continuo, soddisfa 

 certamente all'equazione differenziale (3) delle traiettorie, se, lungo essa. 

 ]' azione (nel senso di Tait e Thomson) è minima in confronto di quella 

 relativa a tutte le altre curve C'(A , B) che congiungono gli estremi A e B 

 di C(A,B), che sono prossime a C. e che hanno tangente variabile, anche 

 essa, in modo continuo. In simboli, la condizione si traduce nella disugua- 

 glianza 



|/2 (U + h) ds < t/2(U + 7*) ds . 

 Jc(A.,B) Jc(A,B) 



Di qui si deduce immediatamente che, se C è una curva chiusa interna al 

 campo definito dalla disuguaglianza U -j- h > 0 ed avente tangente che 

 varia in modo continuo, e se è 



t/2(U + h) ds < t/2(U -f- ti) ds 



per ogni altra curva C\ analoga alla C ed appartenente ad un intorno di 

 questa sufficientemente piccolo, la C è un'orbita periodica che un punto 

 materiale libero può descrivere sotto l'azione di forze provenienti dalla fun- 

 zione U. Non si dice con ciò che tutte le orbite chiuse diano dei minimi 

 per l' integrale di 2(U -f- h) , ma quello che a noi importa è che, se un 

 minimo esiste nelle condizioni dette, quel minimo dà senz'altro una traiet- 

 toria chiusa. 



3. Ciò premesso, siano e L 2 due curve chiuse, delle quali la prima 

 interamente circondata dalla seconda e tali che le loro coordinate, considerate 

 come funzioni dell'arco, siano continue insieme alle loro derivate dei primi 

 due ordini. Sia poi, in tutto il campo A limitato dalle due curve, ed in 

 prossimità di esso, U(x ,y)-\-}i sempre maggiore di zero, ed inoltre, con- 

 tinua insieme alle sue derivate parziali dei primi due ordini. Ci proponiamo, 

 allora, di dimostrare che se sulle L t e L 2 si ha sempre, rispettivamente ('), 



Ts2 £+i_l2 <0 ,x>o L~jÙÙ=m, 



( J ) Il senso positivo sulle curve è quello fissato nella Nota al n. 1. 



