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esiste certamente un integrale periodico dell'equazione differenziale T = 0, 

 vale a dire, esiste un'orbita periodica per il problema dinamico qui con- 

 siderato, la quale risulta compresa fra le curve L,,L 2 . 



4. Indichiamo con C una qualunque curva chiusa, rettificabile, appar- 

 tenente al campo A e racchiudente la L, (»). Per la sua rettificabilità, esiste 

 determinato e finito l' integrale 



yW+Jds; 



e poiché, per la continuità di U + h e per l' ipotesi U -f h > 0, si può 

 trovare un numero m > 0 tale che, in tutto un campo A' contenente nel suo 

 interno il campo A, sia f/u + fr>w, ci troviamo nelle condizioni volute 

 per la validità di un noto teorema di minimo dovuto al Lebesgue ( 2 ). Pos- 

 siamo quindi affermare che esiste, fra le C, almeno una curva C x , per la 

 quale l'integrale della f/U-j-A assume un valore minore o tutto al più 

 uguale a quello relativo a qualsiasi altra curva C. La d, appartenendo 

 alla famiglia delle C è di certo continua, rettificabile e chiusa. Per poter 

 però affermare, secondo quanto si è detto alla fine del n. 2, che essa dà 

 un integrale dell'equazione (3), T = 0, occorre mostrare: 1°) che essa ha, 

 in ogni suo punto, tangente determinata, che varia in modo continuo; 2°) che 

 è completamente interna al campo A, vale a dire, che non ha punti sulle 

 L l5 L 2 . Sfortunatamente, se è possibile mostrare che la d soddisfa alla 

 prima delle due condizioni dette, non sembra si possa escludere che essa 

 abbia punti sulle curve 1^ , L 2 . Tuttavia non ci lasceremo arrestare da 

 questa difficoltà, che noi gireremo completamente mostrando, per altra via, 

 come la 0, soddisfi in fatto all'equazione (3). 



5. Prima di proseguire occorre ricordare la seguente proposizione sta- 

 bilita da G. A. Bliss ( 3 ): se la funzione V(x f y,x' r y'), per tutti i punti 

 (x , y) di un determinato campo e per ogni coppia (x , y') di valori non 

 ambedue nulli, è continua insieme alle due derivate parziali dei primi tre 

 ordini (*) e soddisfa alle relazioni 



¥(x , y , kx' , ky) = K$(x , y , x' , y') per ogni k > 0 



Pi = ~ = ~~x\ = h ^ yfy ' > 0 ; 



(') Questa C può anche coincidere, in tutto o in parte, con le curve L, ,L 2 . 



( 2 ) Intégrale, Longeur, Aire (Annali di Matematica, 1902, n. 96). Vedi 'anche, per 

 una proposizione più generale, la nostra Memoria già citata. 



( 3 ) Suffìcient condition for a minimum... (Transactions of the American Math. So- 

 ciety, 1904). 



(*) E però solo necessaria l'esistenza e la continuità di quelle derivate parziali del 

 3° ordine che contengono almeno una derivazione rispetto a x' o y' . 



