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e se, inoltre, sull'arco di curva C(Pi , P 2 ), interna al campo detto — e tale 

 che le funzioni x[s) , y(s), che rappresentano le coordinate di un suo punto 

 qualunque, siano continue insieme alle loro derivate dei primi due ordini — 

 è sempre 



F ay — F yx > -f V^x'y" - x"y') < 0 (oppure > 0) ; 



allora è possibile congiungere i due punti Pi,P 2 con un'altra linea C'(Pi,P2), 

 situata alla sinistra (destra) di C (') ed avente a comune con questa solo 

 i punti P l5 P 2 , in modo che l'integrale di ¥(x,y,x',y') ( 2 ), esteso alle 

 C(Pi , P 2 ), sia minore dello stesso integrale calcolato lungo un'altra qualsiasi 

 curva congiungente i punti detti, appartenente al campo limitato dalle 

 C(Pi , P 2 ) , C'(Pi , P 2 ), e dotata ovunque, ad eccezione al più di un numero 

 finito di punti, di tangente variabile in modo continuo. 



6. Sia ora P un punto di Ci, appartenente a Li (oppure a L 2 ) e P l5 P 2 

 due punti di 1^ che comprendono fra loro P. Se poniamo 



¥{p , y , x , y') m J/U(a,y)+~A . \ V 2 + y'* , 



per questa funzione sono soddisfatte le condizioni dell'enunciato precedente 

 (tenuto conto della nota relativa alle derivate terze) ed è, per le ipotesi 

 fatte al n. 3, 



F _ P + Y.ix'y" - x"y') = f - (2 -^)<0 



su tutto l'arco Li(P! , P 2 ). Potremo dunque determinare la curva C'(Pi,P2), 

 di cui si parla al numero precedente; e questa, trovandosi alla sinistra di 

 Li(Pi , P 2 ), risulterà esterna al campo A . Siano, poi, Pi , P 2 due punti di 

 L^P, , P 2 ) distinti da Pi e P 2 e compresi, il primo, fra Pi e P, e il secondo 

 fra P e P 2 . Congiungiamo Pj e P 2 con una curva continua che si trovi tra 

 la Li(Pj , P 2 ) e la C'(Pi,P 2 ), e che non abbia punti comuni con queste, 

 ad eccezione di P[ e P 2 . Inoltre, tale arco di linea C"(Pi , P2) rimanga tutto 

 interno al campo A' (nel quale si ha |/U + A>m). Indichiamo con A a 

 il campo che si ottiene da A sostituendo, all'arco Li(P{ , P 2 ) del suo con- 

 torno, l'arco C"(P(,P 2 ); e con B il campo che così si viene ad aggiun- 

 gere ad A. 



Il punto P, che non era interno ad A, viene ora a risultare interno 

 ad Ai . Di più, vogliamo mostrare che la Ci , che dava il minimo di 

 J~j/XJ -j- h cls per tutte le curve di A continue, rettificabili, chiuse e cir- 

 costanti Li , dà ancora il minimo per tutte le curve analoghe contenute in Aj . 



(') Il senso positivo di C(P, , P s ) va da P, a P a . 



( s ) Qui x' , y' indicano le derivate delle coordinate del punto corrente sulla C. 



