Invero, sia C 2 una di queste ultime. Se essa appartiene per intero ad A, 

 la cosa è chiara di per sè. Supponiamo, invece, che esca da A, vale a dire, 

 che si inoltri fra le 0"(PÌ , P 2 ) , L^PJ , P 2 ). 



Sia C 2 (P 3 , P4) un arco di C 2 appartenente a B, il quale abbia su L, 

 solo gli estremi P 3 , P 4 . Scegliamo sopra esso i punti Q' = Q, , Q 2 ... , Q n = Q" 

 distinti da P 3 , P 4 e tali che i segmenti rettilinei che ordinatamente li 

 congiungono due a due, non. incontrino mai nè C nè L, . Si indichi con 

 C»(Q' , Q") la poligonale individuata da tali punti, e con C(P 3 , Q') , C(Q", P 4 ) 

 due curve di B aventi tangente variabile in modo continuo e congiungenti, 

 la prima, P 3 e Q', e la seconda Q" , P 4 . La curva composta degli archi 

 MP, P 3 ) , G(P 3 Q') , C w (Q f Q ") , C(Q" P 4 ) , L,(P 4 P t ), è, allora, tale (n. 5) 

 che l' integrale di }/U + Ji , calcolato lungo essa, risulta maggiore di 



^.(P, p 2 ) 



Da ciò segue immediatamente 



,1 •+ !-+ ■■•> : - ■ 



^C(P, Q') Jc n (Qf Q") Jc (Q" P 4 ) Jl,(P 3 P 4 ) 



Ora, se tenendo fissi gli estremi della spezzata Q'Q", aumentiamo via via 

 il numero dei suoi lati, in modo che essi tendano tutti a zero, l'integrale 

 esteso a C„(Q'Q") tenderà a 



Possiamo quindi scrivere 



WQ") 



! • +}•••:+ — - • 

 ^C(P 3 Q') ^C 2 (Q' Q") ^0(Q" P 4 ) Jl,(P 3 P 4 ) 



Facciamo tendere qui Q' a P 3 , Q" a P 4 ; il p rimo e d [il terzo integrale 

 tendono, allora, a zero, mentre il secondo tende all'integrale calcolato in 

 C 2 (P 3 P 4 ). Si ha così 



^c a (p 3 p 4 ) <A,(p 3 p 4 ) 



Stabilito ciò, osserviamo che gli archi analoghi a C 2 (P 3 , P 4 ), in C 2 , sono 

 in numero finito, oppure costituiscono un'infinità numerabile, come risulta 

 da un noto teorema di Cantor. Se perciò considerano la curva C 3 che si 



