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ottiene da C 2 sostituendo a tutti gli archi C>(P 8 ,P4) i relativi archi 

 L 1 (P 3 P 4 ) di Li , questa C 3 risulta certamente continua, rettificabile ('), 

 chiusa, tutta costituita di punti di A , e circondante Lj . Inoltre, per la 

 disuguaglianza precedente è 



j/U + >» ds > l/U -f h ds . 



Jc, ^c s 



Si conclude, in base alla proprietà di minimo di C, , 



Resta così pienamente dimostrato che la curva d dà, per l'integrale di 

 j/XJ -fli , il minimo anche se al campo A sostituiamo quello più ampio A! . 



7. Sia ora P.un punto qualunque di d, interno ad A. Applicando 

 un risultato stabilito nella nostra Memoria citata (n. 29, osservazione finale) 

 abbiamo che è possibile determinare un arco di d , che contenga P come 

 punto interno, e che sia soluzione dell'equazione differenziale di Eulero re- 

 lativa all'integrale di |/U + 7* : equazione che non differisce dalla (3). 

 Questa soluzione è tale che le coordinate di un suo punto qualunque, espresso 

 in funzione dell'arco, risultano continue insieme alle loro derivate dei primi 

 due ordini. 



Se il punto P, invece che interno, fosse sul contorno di A, prende- 

 remmo in considerazione il campo A,, di cui si è parlato al num. prece- 

 dente, e rispetto al quale P risulta interno, e giungeremmo ad un risultato 

 identico a quello testé ottenuto. 



Con ciò la proposizione enunciata al n. 3 è pienamente stabilita. 



In una prossima Nota, dopo aver dato alcune estensioni del criterio ora 

 dimostrato, ne stabiliremo un secondo. 



(') La sua lunghezza sarà minore della lunghezza di C a aumentata di quella di 

 L,(P,' P a ') e diminuita della somma delle lunghezze degli archi C 3 (P S Pi). 



