Le sostituzioni del gruppo automorfo della forma 2x^x 3 — Jx\ soddi- 

 sfano dunque di necessità o alla congruenza (a) o alla (a*), come è facile 

 dimostrare anche con considerazione diretta. Manifestamente quelle del tipo 

 (a) formano un sottogruppo invariante d'indice 2. 



5. Traduciamo ora il gruppo ternario (7) di collineazioni della conica 

 2xix 3 — Jxl — 0 in sè in un gruppo Fuchsiano, secondo il principio di 

 Poincaré (metrica del Cayley). 



Per questo riduciamo in primo luogo, colla sostituzione di variabili 



2x 1 =y i , xi\/j = y 2 , x 3 =y 3 

 la forma 2 Xi x 3 — 4x\ alla forma canonica 



Le sostituzioni del gruppo algebrico riproduttivo di questa forma sono 

 date da 



l y[ = A.*y 1 + 2kBy ì + B*y 3 



(8) | y ; = AC y x + (AD + BC) y t + BDy 3 



( yi^ G'-yi + 2CD^-J-D 2 ^, 



dove A , B , C , D sono costanti reali, con determinante 



AD — BC = + 1 

 per collineazioni di l a specie, e 



AD — BC = — 1 



per collineazioni di 2 a specie. 



Queste sostituzioni significano movimenti, o movimenti e simmetrie, 

 della metrica Cayleyana e tradotte in sostituzioni lineari sulla variabile com- 

 plessa z, o rispettivamente sulla coniugata *„, diventano 



( s ' = cJ~l]| • AD-BC = -)-l (l a specie) 



(9) < 



( s ' = ÉJf+f ' AD ~ BC — " 1 ( p s P ecie )- 



Se scriviamo la (8) nelle primitive variabili x, abbiamo 



B 2 



x\ = A 2 Xi -f- AB y4x 2 -±- — x 3 



o AC T5TÌ 



-7=7 »i + (AD + BC) x 2 + ~x s 

 v * yJ 



x' 3 = 2G 2 x x -j- 2 CD f2x t + D^ 3 , 



