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ed H coincide manifestamente con quel sottogruppo congruenziale ^ 1 ^ j 

 del gruppo modulare M, che è definito da 



b = 0 (mod 2) c = 0 (mod J) . 



È facile valutare l'indice di H in r ed in G: poiché ee J è il pro- 

 dotto di n fattori primi diversi 



J = p ì p ì ...p n , 



l'indice di H in r è dato dal numero dei divisori di J ed è quindi = 2", 

 onde l' indice di H in G è dato da 2"* 1 . 



Così pure si determina subito l' indice di H nel gruppo modulare, che 

 è dato da 



Hpy + 1) (P* + 1) - (A -fi)- 



Se indichiamo poi con G 0 , H 0 , M 0 i rispettivi gruppi ampliati da G, 

 H , M mediante la riflessione z' = — s 0 (cioè col considerare insieme alle 

 (I) anche le (I*)), sarà H 0 sottogruppo comune di G 0 , M 0 ed avrà nel primo 

 l' indice = 2 n+1 e nel secondo l' indice dato da 



+ (^+l)-(^+l). 



Così è posta perfettamente in evidenza la commensurabilità del gruppo au- 



tomorfo per le forme ternarie suscettibili di rappresentare lo zero col gruppo 

 modulare. 



6. Una forma ternaria indefinita qualunque f ha un gruppo automorfo 

 infinito, al quale appartiene, nella metrica del Cayley, un determinato poli- 

 gono fondamentale. Se, per fissare le idee, prendiamo == — 1 la curvatura 

 della metrica iperbolica del Cayley, l'area Sì del poligono fondamentale è 

 perfettamente determinata. Il valore di Sì, che è un attributo comune a 

 tutte le forme della classe C di /, si assumerà come misura della densità 

 della classe. Questo si giustifica colle osservazioni seguenti. 



Le forme della classe C si ottengono applicando ad f le infinite sosti- 

 tuzioni ternarie unimodulari, ma ciascuna forma si trova ripetuta un numero 

 infinito di volte, corrispondentemente alle infinite sostituzioni del grappo 

 automorfo, cioè ai singoli poligoni equivalenti della rete in cui le sostitu- 

 zioni del gruppo dividono l'interno della conica assoluto. La classe C è 

 dunque da riguardarsi tanto più densa in forme quanto più è ristretto il 

 gruppo, vale a dire quanto più grande è l'area Sì del poligono fondamentale. 



Rendiconti, 1912. Voi. XXI, 1° Sem. 4] 



