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Se ne deduce: 



1°) Se F(0) == 0, il valore B di \ + ' ^ dy è perfettamente de- 



J+\ y 



terminato, e non dipende dal valore di C . 



r+i -p(y) 



2°) Se F(0) 4= 0, noi possiamo far acquistare a — — dy quel 



'•' J-\ y 



valore B che più ci piace, scegliendo opportunamente la costante C . 

 Poniamo K(x , y) = k(x) -\- y H(a; , y) ; poniamo cioè : 



k(x) = K(x,0) ; T&{x,y) = ^\K{x,y) — K(x,0)\, 



e supponiamo k(x) ed R(x , y) finite e continue nell' intervallo ( — 1 , -f- 1). 

 Basterebbe del resto supporre che B.(x , y) sia un nucleo (Kern), a cui è 

 applicabile la teoria del Predholm. La (4) diventa con le notazioni ora 

 adottate : 



(8), F(x) + xj^H(w , y) F(y) dy = xfj(x) — B k(x) , 



(8) , B=rm du . 



J-i y 



Alle soluzioni F(x) di (8) differenti da zero per x = 0 corrisponde una so- 

 luzione f{x) di (1) che ha un infinito del primo ordine in tale punto; alle 

 soluzioni F(x) nulle per x —- 0 corrisponde ( l ) (se F(x) è in tale punto infi- 

 nitesimo almeno di primo ordine) una soluzione f(x) di (1) regolare anche 

 per x = 0 . 



Siano n{x , X) e se x(x , X) le soluzioni trovate (per es. col metodo del 

 Fredholm) delle: 



(9) , rt(x , X) + X J^Mlx , y) n(y , X) dy = xp(x) , 



(9) 2 *{x , X) + xj +1 R(x , y) x(y , X) dy = k(x) . 



Dalla (8) si dedurrà che per valori non eccezionali di A è: 



(10) F(x) = tv(x , X) — B x{x , A) ( 2 ). 



(*) In virtù di (2), ove si ponga x — A(x). 



( a ) Affinchè JF sia integrabile, e siano leciti i calcoli seguenti, basta che ón e <fx 



