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Distinguiamo ora due casi: 



1°) Si voglia che F(0) = 0. Le (8), e (IO) diventano 



tt(0 , l) — B x(0 , A) = 0 , 

 J +i x ) 



supposto che questi integrali esistano. Le (11) sono compatibili soltanto in 

 uno dei seguenti casi: 



ai) Le (11) si riducono a identità; cioè: 



(12)! 0 = 7r(0,A) = x(0,A)= C +ì Z&i*} d a:=l+ ^ dx . 



u — i X J —\ X 



In tal caso a B si può dare un valore arbitrario; esistono oo 1 solu- 

 zioni (10) di (4), che sono funzioni lineari intere di un parametro B. 

 E non vi è altra soluzione di (4). Tali soluzioni si riducono ad una sol- 

 tanto quando x{% , l) = 0, ossia k(x) = K(x , 0) = 0. 



ag) Almeno una delle (11) è un'equazione non identica; e nessuna 

 delle (11) è contradittoria (ciò che avverrebbe se per es. x(0,A) = 0 e 

 n(0 , X) =j= 0). In tal caso le (11) sono compatibili soltanto se 



\ J i X j — i OC 



ossia se: 



(12), *jo , i) = IO- *)"(*. *)-"(<> ■*)-(«.*) dx 



kJ — \ OC 



dove, nelle nostre ipotesi, l'integrale del secondo membro è perfettamente 

 determinato. 



In questo caso le (11) determinano univocamente la B; e la (4) pos- 

 siede una sola soluzione nulla per x = 0. 



Se poi E(x , y) — H(0 , y) , xp{x) — ip(0) , k(0) sono infinitesimi 

 almeno del primo ordine per x = 0 , altrettanto avverrà per le (9) di 



(11)! 

 (11). 



siano integrabili, ossia, per le (9), che dty , dk , H ^ ' ^ — ' ^ siano funzioni inte- 

 grabili. 



