— 329 — 



n(x , X) — 7t(0 , X) e di x(x , X) — x(0 , X). Cosicché alle funzioni F(x) ora 

 determinate in («0, (a 2 ) corrispondono soluzioni f(x) di (1) regolari anche 

 per x — 0. Come si deduce da quanto abbiamo detto (eccettuato il caso 

 che una delle (11) sia contradittoria) l'esistenza di tali soluzioni per la 

 (1) è caratterizzata dall'essere soddisfatta l'equazione (12) 2 . 



In modo perfettamente simile si studierebbero i valori di X eccezionali 

 per le equazioni integrali (7). 



2°) Si voglia che F(0) 4= 0- Ln tale caso la B può, come dicemmo, 

 ricevere un valore qualsiasi; e tutte le soluzioni della (3) sono date dalla 

 (10), in cui alla B si dia un valore qualsiasi, eccettuati i valori B = E 

 per cui 



(13) n(<ò,X) — Ex(0, X) = 0 



perchè, se B riceve un tal valore E , sarebbe F(0) = 0. 



/?i) 7r(0 , X) = x(0 , X) = 0. La (13) è una identità; tutte le possibili 

 soluzioni l?(x) di (3) sono nulle per x = 0 . Siamo ricondotti al caso già 

 studiato. 



/Sj) n(Q,X) 4=0 ; x(0, X) == 0. La (13) non è soddisfatta da alcuna E; 

 e le funzioni ¥(x) cercate (cfr. la (10)) sono funzioni lineari intere di un 

 parametro B, che può ricevere un valore arbitrario. 



/S 3 ) x(0 , X) 4= 0. In tal caso ancora le F(a?) cercate sono funzioni 

 lineari intere di un parametro B, il quale può ancora ricevere un valore 



arbitrario, eccettuato però il valore E = 1 ^ definito dalla (13). 



x(0 , /) 



Osservazione. — Si noti che per (7), (10) è: 



B = C 0(0 , X) — B x(0 , Xy] 4- j +1 Ó7t da — b J^Óx dx ; 



la quale relazione tra i parametri B , C permette di rendere più intuitivi 

 i precedenti risultati ; ed anzi per ogni valore di B determina generalmente 

 la corrispondente costante C , ossia il modo di annullarsi dell' intervallo 

 (—»?,*)• 



Questi risultati si possono, con metodo siffatto simile, estendere a sin- 

 golarità di tipo più elevato. Supponiamo per es. che nella (3) sia: 



A(y ) = f , K{x , y) = K(0 , 0) + x* h{x) + f k(y) + x> y* R(x , y) ; 

 rp(x) = ìp(0) 4~ oc 3 (p{x) , 



ove h(x) , k(y) , R(x , y) , <p(x) siano per es. finite e continue nel solito 

 intervallo. 



Rendiconti. 1912, Voi. XXI, 1° Sem. 



43 



