Consideriamo un quadrato, che abbia un vertice nell'origine, e il ver- 

 tice opposto nel punto di coordinate 1,1. Definiamo una funzione ~F(x,y) 

 come segue: 



a) Sia nulla sui lati, ed in ogni punto interno che abbia almeno 

 una coordinata irrazionale; 



b) Nei punti interni x~ — , y = - (frazioni supposte irriducibili) 



fi H 



essa valga - per n = q, e valga * per n~q. 



Allora, fissato y = -, la funzione F ( x , 4 ) , della variabile x, è evi- 

 1 \ q) 



dentemente integrabile in dx\ essa è infatti in condizioni d'integrabilità 

 più vantaggiose di una funzione g>{x) destinata ad assumere, nell' intervallo 

 (0 , 1), il valore zero per ogni x irrazionale, e il valore ^ per ogni x ra- 

 zionale = (frazione supposta irriducibile). Ora è nota e manifesta l' inte- 

 grabilità Riemanniana di questa funzione. 



Si dimostra facilmente che la funzione ¥(x , y) è discontinua in ogni 

 punto del quadrato. In un quadratino arbitrariamente piccolo, interno al 

 quadrato, esistono punti con valori irrazionali di a; e di y, ed ivi ¥(x,y) 

 è zero. Esiste poi sempre, nell'interno del quadratino, uno almeno fra due 

 punti che hanno le rispettive coordinate del tipo 



_ 2h — l 2k—ì 2h -f 1 2k 4- 1 



dove J?(x,y) vale 1. Basterà che n sia abbastanza alto. 



La funzione ~F(x , y), simmetrica nelle due variabili x , y, che abbiamo 

 ora costruita, verifica le relazioni 



e, più generalmente, 



f F(x , y) dx = 0 f 1 F(a; ,y)dy = 0, 



f dx )F(x,y)dy = 0 f'dy pF(a> , y) dx = 0 ; 

 eppure non esiste l'integrale doppio Riemanniano 



jj F(x , y) dx dy 



esteso alla superficie del quadrato. 



Ripeto che ciò s' inquadra in ricerche, più estese, di calcolo funzionale, 

 che il prof. Giorgi mi ha cortesemente accennate. 



e poi 



