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Meccanica celeste. — Sulle orbite periodiche. Nota di Leo- 

 nida Tonelli, presentata dal Socio Salvatore Pincherle. 



1. — L'orbita periodica d, la cui esistenza fu da noi stabilito nella 

 Nota precedente ('), per le sue proprietà di minimo, non può avere punti 

 multipli interni ad A. La cosa è evidente. Ma non ne può avere neppure 

 sul contorno. Infatti, con un ragionamento da noi usato in una Nota, di 

 prossima pubblicazione, sulle soluzioni discontinue del calcolo delle varia- 

 zioni, si vedrebbe facilmente che i vari rami di C, , passanti per un punto 

 multiplo, dovrebbero avere in tal punto tutti la stessa tangente, e questo è 

 impossibile ( 2 ), perchè su tutto A è sempre j/U + A> 0 ed anche F, > 0 ( 3 ). 



2. — È importante osservare che la curva Li non deve necessariamente 

 essere costituita di un sol pezzo. La proposizione del n. 3 vale anche se 

 la Li risulta formata da due o più curve continue, chiuse, aventi le pro- 

 prietà di cui al n. citato. Anche in questo caso non possono esistere punti 

 multipli su Ci . 



3. — È facile vedere che la G L non può avere su L! e L 2 che un 

 numero finito di punti. Infatti, se su L x (L 2 ) ne avesse un numero infinito 

 (costituenti necessariamente un gruppo chiuso) e P fosse un punto limite 

 di essi, su P la sua curvatura sarebbe uguale a quella di L, (L 2 ). Risultando 

 così verificata la disuguaglianza T<0 (> 0) non potrebbe essere verificata 

 la 3), T = 0. 



4. — La proporzione del n. 3 sussiste anche nei seguenti casi: 



1°) Se invece delle disuguaglianze T < 0 , T > 0 , in un gruppo 

 riducibile di punti di L, e L 2 è verificata la T = 0 . 



2°) Se in un gruppo pure riducibile, le coordinate dei punti di 

 L, , L 2 , considerate come funzioni dell'arco, mancano di derivate seconde, 

 oppure queste non sono continue. 



3 e ) Se in un numero finito di punti di Li e L 2 , manca la tangente; 

 purché però in ognuno di tali punti esistano e siano continue le tangenti 

 ai due rami della curva che concorrono in essi, e l'angolo di questi rami, 

 che appartenne ad A, sia minore di n. 



Tutto ciò scende immediatamente da quanto abbiamo dimostrato nella 

 Nota di cui si è fatto cenno al n. 1. 



(i) L. Tonelli, Sulle orbite periodiche (Questi Rendiconti, 1° sem., pag. 251). 

 (') Cfr. Bolza, Lectures on the Calculus of Variations, 1904 (Chicago), pag. 125. 



O Ricordiamo che è F, =^ = - con F = YW+h ]/x'* + y'* . 



