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5. — Sia, ancora, L x una curva chiusa tale che le due coordinate, 

 come funzioni dell'arco, siano continue insieme alle loro derivate dei primi 

 due ordini. In prossimità di Li e per tutti i punti esterni a tale curva, la 

 TJ(xp) -f- h sia positiva, ed inoltre, continua insieme alle due derivate par- 

 ziali dei primi due ordini. Sia poi 



f t \ him 



(4) B = 00 Rl/U(aJ,y)+A = oo, 



dove R indica la distanza del punto (w , y) , nel quale si calcola la j/U -j- h , 

 dall'origine delle coordinate. Allora 

 se sulla Li è sempre 



Tss2 U + 4_ 2 U 



esiste certamente un'integrale periodico dell'equazione differenziale T = 0, 

 ossia un'orbita periodica per il problema dinamico considerato. 

 Quest'orbita circonda la curva Lj. 



Sia L una qualunque curva continua, rettificabile, che circonda L,, e 

 si indichi con N un numero positivo maggiore dell'integrale 



J-j/V + nds. 



In base alla (4) è possibile determinare un numero positivo E, , tale 

 che per ogni R >. R, sia 



(5) R fU + fc > N . 



Questo Ri lo sceglieremo in modo che il cerchio (0, Ri), avente il centro 

 nell'origine degli assi ed il raggio uguale a R,, contenga nel suo interno 

 tutta la curva Lj . Sia, ora, L' una curva continua, chiusa, rettificabile, cir- 

 condante la L, ed avente un punto sulla circonferenza (0, R 2 ), con R 2 > 2Ri . 

 La lunghezza di quella parte di L' che trovasi nella corona circolare limitata 

 dalle circonferenze (0,B,) , (0,R 2 ), è di certo maggiore di 2(R 2 — R,) ; e il 

 contributo di questa parte nell'integrale 



j^,j/U + /i ds 



è, per la (5) maggiore di 



N 



2(R 2 — R,) — . 



xi 2 



Si ha così 



(6) r^U+^ s> 2(R 2 _K 1 )|^=2N-2N|i>N. 



J 1 K 2 R 2 



