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Sulle superficie minime cerchiate citiamo ancora una Memoria di X. 

 Stouff 0), ed infine un'interessante Nota di G. Juka (»), dove le equazioni 

 di queste superficie minime sono poste sotto una semplice forma che ci sarà 

 utile fra breve. 



2. Scopo della presente Nota è di far conoscere una nuova interpreta- 

 zione geometrica che possono ricevere le superficie minime cerchiate di Rie- 

 mann in metrica non-euclidea (iperbolica). Tale interpretazione si fonda 

 sulla nota circostanza che in queste superficie il luogo dei centri dei circoli 

 è una linea piana, il cui piano n è normale a quelli dei circoli. Si consi- 

 deri allora questo piano n come piano limite z = 0 in una metrica iperbo- 

 lica definita, nella rappresentazione di Poincaré, da 



dx* + dy* + dt* 

 (1) ds*= -, 



1 circoli, ortogonali al piano limite, della superfìcie minima 2 rappresen- 

 tano rette non-euclidee e la 2 è quindi, in metrica iperbolica, una superficie 

 rigata. Ora, per le proprietà generali delle superficie minime, i circoli di 2 

 (linee di livello), insieme alle loro traiettorie ortogonali (linee di pendenza), 

 formano un sistema isotermo, e la proprietà si conserva in metrica iperbo- 

 lica, la rappresentazione di Poincaré essendo conforme. 



Sulla nostra rigata 2 della metrica iperbolica le generatrici formano 

 dunque colle traiettorie ortogonali un sistema isotermo, onde la superficie 

 stessa è il luogo delle binormali di una curva a torsione costante. Dunque: 

 Ogni superficie minima cerchiata di Riemann, interpretata in metrica 

 iperbolica, diventa la superficie luogo delle binormali di una curva F a 

 torsione costante. 



Per definire completamente questa curva T, ne osserveremo ancora una 

 altra proprietà che la caratterizza. Se alla superficie minima 2 diamo una 

 traslazione continua normale ai piani dei circoli, ciascun punto della curva r 

 si dirige normalmente ai circoli; e poiché la detta traslazione rappresenta 

 anche un movimento continuo parabolico dello spazio a curvatura costante, 

 ne risulta che la direzione dello spostamento, per ciascun punto di T, rimane 

 nel piano osculatore non-euclideo di r, e la curva T resta dunque asinto- 

 tica della superficie S generata. Siccome poi r ha costante la torsione, segue 

 dal teorema di Bnneper che la superficie S generata è a curvatura costante 

 negativa. Abbiamo dunque il seguente teorema: La curva r a torsione 

 costante genera in un movimento continuo parabolico una superficie pseu- 

 dosferica S di cui rimane asintotica. 



(>) Sur une classe de surfaces minima. Annales de la Faculté des Sciences de Tou- 



louse, t. VI (1892). 



(*) Mathematische Annalen, Bd. 52 (1899). 



