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Possiamo enunciare questo risultato sotto l'altra forma: 



Se alla superficie minima cerchiata 2 si dà una traslazione con- 

 tinua normale ai piani dei circoli, le co 1 posizioni di 2, interpretate in 

 metrica iperbolica, sono le superficie luogo delle normali ad una super- 

 ficie pseudosferica lungo le asintotiche di un sistema. 



Di una proprietà analoga godono naturalmente le asintotiche del secondo 

 sistema, sicché la doppia infinità di circoli si ordina in due modi diversi 

 in oo 1 superficie minime cerchiate congruenti per traslazione. 



3. Alle considerazioni geometriche precedenti facciamo ora seguire i cal- 

 coli che, mentre dànno la conferma analitica delle proprietà osservate, fanno 

 conoscere di più, in termini finiti, le equazioni di questa singolare curva r 

 a torsione costante dello spazio iperbolico e delle superficie pseudosferiche 

 da essa generate. 



Per la superficie minima cerchiata 2 assumiamo il piano della curva C 0 , 

 luogo dei centri dei circoli, per piano xy, mentre disponiamo il piano xz 

 parallelamente ai piani di circoli. Secondo le formolo stabilite da Juka (loc. 

 cit.), le coordinate x 0 . y 0 del centro mobile del circolo sono date, per un 

 parametro u, mediante funzioni ellittiche di Jacobi a modulo arbitrario k, 

 dalle espressioni 



. n ( sn u dn u _,. . ) 

 a^«pA« + -|— _ -E(«)j , y 0 = fiku, 



dove k' è il modulo complementare, ,u una seconda costante arbitraria, ed 

 E(#) l' integrale di 2* specie 



E(u) = ) dn 2 w du ; 



infine il raggio R del circolo è dato da 



R = ^-. 



cn u 



Come si vede, la costante /n moltiplicativa influisce solo sulle dimen- 

 sioni della superficie e rappresenta il raggio del circolo minimo ; senza alte- 

 rare la generalità potremo fare fi —l. Così la superficie minima cerchiata 2 

 sarà definita dalle forinole: 



m\ t i llsnaina _. , ) , cos co 



(2) X = ku + n-l^u E W| + !nT V * = ^<* = 



sen co 



cn u 



che dànno le coordinate x , y , s 

 metri u , co 



di un suo punto, espresse per due para- 



