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Se calcoliamo il ds 2 = dx 2 -j- dy 2 + di 2 della 2 in coordinate u,w, 

 troviamo 



ds 2 = Edw 2 -f- 2Fdj£ do> + G d© 2 , 



con 



. , &' 2 + sn 2 udn 2 w . o;r snwdnw „ ^ sen a> p I 



E = F4- -- ' h 2& r COS (a , F = — — , (x == — r- 



^ cn% ~ cn 4 a cn 3 M cn 2 w 



L'equazione differenziale 



FrfK-f- Gd» = 0 

 delle trajettorie ortogonali dei circoli si scrive 



sicché ponendo 



dw k'du 



sen <b cn w 



f dw C k'du 

 V J sen o) J cn « 



cioè 



a? . ànu-\-k'snu 

 (3) y = logtg--log — , 



saranno appunto le y = cost le trajettorie ortogonali dei circoli. Calcolando 

 ora il ds* in coordinate u , v , troviamo 



ìa\ *.t i( k' cosa + snuànu V ) sen 2 ^ 



dove resta ancora da esprimere sen « , cos <w per a,t». Per ciò traggasi 

 dalla (3) 



a dnu-\-k'snu „ 



77 == e 



& 2 cnw 



e, tenendo conto della identità 



cn 2 u =~- (dn u -\- k' sn w) (dn u — k' sn w) , 



ne dedurremo 



dn z< senh v -\- k' sn u cosb t> 

 cos a) ^ cQg j i y t ^ sn M sen ij y » 



(5) <; • 



1 cn 



seno = 



dn a cosh v -\- k' snu senh y " 

 Abbiamo quindi 



/fc'cosft) -f- sn^ dn^ _ # 2 sn a cosh v — k'dn u senh v 

 cn 2 w dn ^ cosh v -J— sn w senh y ' 



