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e perciò 



/ ffcosm-f- sna ctniA » _ A 2 cosh'y -f- k' 2 senh*y 



\ cn2 « / ~~ (dnw cosh y-|-//snK senh y) 2 ' 



Sostituendo nella (4), abbiamo la formola definitiva pel ds 2 : 



(6) *' = (dn.cosh.+Vsn.senh ^ K*^4^««W») ^ + , 



la quale conferma che i circoli w = cost, colle trajettorie ortogonali v -=cost, 



formano un sistema isotermo. Poiché inoltre u, e quindi y — -, è parametro 



d'isotermia resta confermato, per un noto teorema di Beltrami, che la su- 

 perficie 2 è ad area minima. 



4. Interpretiamo ora la superficie minima 2 come esistente nello spazio 

 iperbolico di curvatura K = — le d'elemento lineare (1). Indicandone con 

 ds l'elemento lineare non-euclideo, avremo 



, n sen 2 « , , 

 ds' 2 = — — • ds 9 , 

 cn 2 u 



cioè per la (5 2 ) 



ds' 2 — (dn u cosh v -f- H sn u senh v) 2 ds 2 . 

 Osservando la (6), abbiamo dunque 



( 7 ) ds' 2 = (A* cosh 2 y -f- A' 2 senh 2 v) du 2 -f dy 2 . 



La curvatura geodetica delle y = cost è qui • 



_1 senh y cosh y 



q v k 2 cosh 2 v -f- senh 2 y ' 



e per ciò la linea y = 0, che indichiamo con Z\ è geodetica, sicché l'attuale 

 rigata 2 è il luogo delle binormali di l\ Se, colle forinole di Frenet in 

 metrica iperbolica (*), si calcola l'elemento lineare della rigata delle binor- 

 mali ad una curva e si identifica con (7), si trova che: La torsione | della 

 nostra curva r è costante, precisamente 



T k ' 



La prima proprietà dedotta geometricamente al n. 2 è così confermata 

 dal calcolo. Di più possiamo ora scrivere le equazioni in termini finiti della 



(') Vedi le mie Lezioni di geometria differenziale, voi. I, §§ 201-202. 



