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 1 k' 



curva r a torsione costante -z: = — ponendo nelle (2) v = 0, cioè secondo 



J. rC 



le (5) 



k sn u ciik 



cos co = ; , sen a> = - — . 



dn u dn u 



Così: cwn;a r è data, in termini finiti, dalle equazioni 



(8) x = ku 4- -ttj — 77 E(«) , y = ku , s = -z — . 



v ' 1 k'dnu k ' dn« 



Si noti inoltre che, per la (7), il suo arco s non-euclideo è 



s = ku. 



Possiamo anche facilmente calcolare la prima curvatura (flessione non 

 euclidea) - della nostra curva r in funzione dell'arco s con la formola 



dx dzV . / d*y 0 , dy dz_ 



1 , , Ud % x _ , dx dz\ 2 . i d 2 y 



7 = dn!, |(li?- 2d "'57*) +W 



+(S+-[(S)'+(D ! -OT> 



che deriva dalla formola generale (31) a pag. 364 del 1° volume delle mie 

 Lezioni di geometria differenziale. Qui troviamo 



[ dx ^ sn 2 z< dy ^ dz ksnuonu 



] ds dn 2 u ' ds ' ds dn 2 u 



ì ^ x - 2k' Sn U CD U 0 ^ & c n 2 ^ — k' 2 su 2 u _ 



f ds 2 ~ dn 3 u ' ds 2 ' ds 2 dn'w 



e sostituendo nel valore di \ , e riducendo, risulta la semplice formola 



f 



1 o 



- = 2 cn u . 



Vediamo adunque che: La curva r a torsione costante nello spazio 

 iperbolico, data in termini finiti dalle (8), è definita dalle equazioni in- 

 trinseche 



1 # 1 o i s \ 



Siccome la superficie 2 ha linee di curvatura isoterme, e tale proprietà 

 si mantiene in metrica non-euclidea, abbiamo: La superficie delle binor- 



