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mali della curva r fin metrica iperbolica) è una superficie isoterma. 

 Questa è una proprietà caratteristica della nostra curva r, come dimostre- 

 remo più oltre (vedi n. 7). 



5. Conformemente alle osservazioni geometriche del n. 2, diamo ora 

 alla curva r una traslazione d'ampiezza variabile w parallelamente all'asse 

 delle y (normalmente ai piani dei circoli). La superficie S generata in questa 

 traslazione, ove si ponga ku-\-w = t, sarà data dalle formole 



<m\ n i snwcnw 1 _. . 1 



Riguardando questa superficie S (cilindro dello spazio euclideo) come appar- 

 tenente allo spazio iperbolico (1), avremo per il suo elemento lineare 



(U) ds'^Pstfudtf + dtfudt 2 . 



La sua curvatura assoluta K si calcola subito ed è 



indi per la curvatura K 0 relativa avremo 



K 0 = K + l=-f I 



Se calcoliamo altresì i coefficienti 



D = Sì n , D'r=fì n , D" = i2 22 



della seconda forma fondamentale di S, ricorrendo alle formole del § 170, 

 voi. I, delle Lezioni, abbiamo 



(12) D^k'k'cnudnu , D' = 0 , D" = — k' sn u inu , 

 e quindi per l'equazione differenziale delle asintotiche 



dt z — A W = 0 . 



Le asintotiche di un sistema sono le t — ku = eost, in particolare è asin- 

 totica la v = 0, e quelle dell'altro sistema sono le £ -f- /few = cost , mani- 

 festamente simmetriche delle prime rispetto al piano xz. Per il teorema 

 di Enneper ( l ) la torsione delle asintotiche, in particolare della curva T, è 

 data da 



il che dimostra nuovamente la prima delle (9). 

 ( l ) Lezioni, voi. I, pag. 496. 



