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 Per ritrovare di nuovo anche la seconda 



1 o 



- = 2 cn u , 



Q 



basta calcolare, colla forinola di Bonnet ('), la curvatura geodetica della 



t — ku = Q, che combina appunto coll'assoluta ^ . 



6. È stato osservato da Schwarz (Miscellen, loc. cit.) che la superficie 

 2', coniugata in applicabilità di una superficie minima cerchiata 2, è un'altra 

 tale superficie minima. Non è senza interesse ricercare la dipendenza fra 

 le formolo che dànno le due superficie 2 , 2' ovvero le due corrispondenti 

 curve a torsione costante r , T' dello spazio iperbolico. Dimostreremo che 

 il passaggio da 2 a 2', o da T a F', si ottiene cangiando il modulo k nel 

 complementare k'. 



Prendasi la superficie minima cerchiata 2, nella quale però converrà 

 ora meglio dare, per ragioni di simmetria, al raggio del parallelo minimo 

 il valore k' anziché il valore 1. Così, per la formola (6), il ds 2 della 2 

 sarà dato da 



< 18 > ** = (dn«co S W'sn»enM - «* «»* + ** ** + ' 



Considerando la superficie minima cerchiata analoga 2', ottenuta collo 

 scambio di k con k\ avremo per il suo elemento lineare 



(13 r ) ds n = T n rT r^J(^cosh 2 V + & 2 senh 2 VWU 2 + dV 2 (, 



\ LO > ab (^nUcoshV+ASnUsenhV) 2 ^ T ; ' 1 



ove 



SnU , CnU , JnU 



indicano le funzioni ellittiche col modulo complementare k'. Dimostriamo 

 che le due superficie minime 2 , 2' sono applicabili in guisa che le linee 

 di livello u = cost (circoli) dell'una diventano sull'altra le linee di pendenza 

 V = cost (traiettorie ortogonali dei circoli) e reciprocamente. Per questo 

 diamo le effettive forinole di corrispondenza che sono 



(U) 



k' sn u 1 cn u 



dn u 

 1 _CnU 

 cosh v JnTJ 



I , , v k' snu 1 



tghV = ~dnV ' SShV 

 J , , /fcSnU 

 ( tghy = ^nU 



(') Lezioni, voi. I, pag. 183. 



