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Da queste si deduce in effetto 



dY k' dv k 



du cnw ' dTJ CnU 1 



e si verifica subito che i due elementi lineari (13), (13') si trasformano 

 così l'uno nell'altro ('). 



Le proprietà così verificate per le due superficie minime 2,2' le ca- 

 ratterizzano appunto come coniugate in applicabilità. Notevole è il caso par- 

 ticolare k = k' = —=- dove le due superficie minime 2,2' riescono iden- 

 I ^ 



tiche di forma. 



7. Da ultimo veniamo a dimostrare, conformemente a quanto è asserito 

 alla fine del n. 4, che : La curva r dello spazio iperbolico definita dalle 

 equazioni intrinseche (9) è V unica curva a torsione costante di questo 

 spazio, la cui superficie delle binormali è isoterma (con linee di curvatura 

 isoterme). Così verremo a dimostrare nuovamente questa proprietà della 

 curva r ed in pari tempo proveremo che essa è caratteristica per la nostra 

 curva. 



Nello spazio iperbolico, di curvatura K = — 1, consideriamo una curva 

 C a torsione costante 



1 



rji — a (a costante) 



e la superficie 2 luogo delle sue binormali. 



Sulla 2 assumiamo a parametro v l'arco di C ed a parametro u il 

 tratto di generatrice contato a partire da C(w = 0). L'elemento lineare di 2 

 sarà dato (vedi Lezioni, voi. I, pag. 450) da 



( 15 ) ds 2 = du 1 + (cosili -f- a 2 senh 2 a) dv 2 , 



sicché pei coefficienti E , F , G abbiamo qui 



E = l , F = 0 , G == cosh 2 ^ -j- a 2 senh 2 w 



e quindi i valori dei simboli di Christoffel sono tutti nulli, salvo i due 

 seguenti 



(12) (1 -j- a 2 ) senh& co sh u 



\ 2 ) cosh 2 w -f- a 2 senh 2 w 



(22) 



) l\ = — (1 + a *) sen b u cosh u . 



(') Si osservi ancora dalle (14) che il circolo minimo u = 0 della I si muta sulla 

 2' nella curva T' a torsione costante non-euclidea. 



Rendiconti, 1912. Voi. XXI, 1° Sei 



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