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Consideriamo ancora i coefficienti D , D' , D" della seconda forma fon- 

 damentale di 2 che saranno (*) 



(16) D = 0 , D f = , — , D" = 2Vt/cosrj 2 w + a 2 senh t M , 



ycosh 8 M -\- a 2 senili 



dove 



- = 2V 

 Q 



è una funzione della sola v che rappresenta appunto la prima curvatura, o 

 flessione, di C. Si tratta ora di determinare questa funzione V per modo 

 che la superficie 2 risulti isoterma. 



Applicando i risultati esposti nel voi. II delle mie Lesioni a pag. 30 (*), 

 si vede essere per ciò necessario e sufficiente che, posto 



r= (ED' — FD) . fi , r' = i(ED" — GD).<tt , T" — (FD" — GD') . fi . 



si possa determinare il moltiplicatore fi in guisa che r , F' , r" soddisfino 

 le equazioni di Codazzi 



(18) 



~ìv ~òu (2 S 



ÌIL ÌE1 (12) (12) „_ 



Sostituendo in queste i valori (17) di r,r',r", coll'osservare le (16), e 

 introducendo come nuova funzione incognita in luogo di fi l'altra 



M = log fi — 1 log (costi 2 u-\- a 2 senh 2 u) , 



le (18) determinano i valori di , secondo le forinole seguenti, ove 

 si è posto per brevità 



dY 

 V ~ dv ' 



DM _ 2(1 + a 2 ) senhacosha _ (1 + a 2 ) senh a cosila V 2 _ 

 "dm -- cosh 2 w + « 2 senh 2 ^ a 2 + (cosh 2 ^ + a 2 senh 2 w) V 2 



« 2 -f- (cosh 2 ?< + « 2 senh2 V* 



DM _ a(l 4- a 2 ) senh a cos hjTV_ _ (cosh 2 u + a 2 senh 2 w)VV f 



~^ = a 2 _|_ ( C o S h 2 a + a 2 senh 2 u) V 2 a 2 + (cosh 2 w -f a 2 senh 2 w)V 2 ' 



(') Si consideri che le » = cost sono asintotiche (rette), e si tenga conto delle equa- 

 zioni di Gauss e di Codazzi. 



( 2 ) I teoremi cui ci riferiamo valgono, come facilmente si dimostra, non solo in 

 metrica euclidea ma anche in una metrica generale a curvatura costante. 



