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Basta ora scrivere la condizione d'integrabilità per queste due e si ottiene 



a (1 + a 2 )V jfl 2 (cosh 2 u + senh 2 u) + (cosh 2 u — a 2 senh 2 u)\ s \ -f 

 + a V" j a 2 -f (cosh 2 u + a 2 senh 2 u)Y 2 \ — 2 ft (cosh 2 u + a 2 senh 2 w)V V = 0 , 

 d 2 V 



dove V" = — . Siccome V è indipendente da u , questa deve ridursi alla 

 identità 



cosh 2 2<( — senh 2 u = l. 

 Questo ci dà dapprima le due condizioni per V: 



V" V 2 + (1 -f- a 2 )V (a 2 -j- V 2 ) — 2 V' 2 V = — a 2 V" 

 V"V 2 -{-(l + « s )V(l — V 2 ) — 2V' 2 V = V", 

 le quali equivalgono però all'unica del 1° ordine 



Y' = — Y 2 )(Y 2 + a 2 ) . 

 L'integrale generale di questa, ove si ponga 



k= , k' = 



\/l+a 2 ' |/l-f-a 2 

 e si includa la costante additiva in y, è dato da 



v - «(!)• 



Le equazioni intrinseche della curva domandata sono adunque 

 1 & r 1 /«\ 



che combinano appunto colle (9), ciò che dimostra il teorema enunciato. 



Osserveremo in fine che l'analisi qui adoperata si applica nel medesimo 

 modo per risolvere il problema analogo negli altri spazi a curvatura costante, 

 nulla o positiva; si trovano così i risultati seguenti: 



1°. Nell'ordinario spazio euclideo (a curvatura nulla) non esiste alcuna 

 curva reale ed a torsione costante non nulla, la superficie delle cui Anor- 

 mali sia isoterma. 



2°. Nello spazio ellittico (a curvatura K = -f- 1) l e uniche curve 

 reali di questa specie sono tutte e sole quelle di equazioni intrinseche 



T = 1 ' ~ = 2t S^s) (scostante). 



La superficie delle binormali di queste curve sono particolari rigate a cur- 

 vatura assoluta nulla. 



A questi risultati si collegano altre osservazioni geometriche sulle quali 

 mi propongo di ritornare più tardi. 



