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ou pour r, ni un faisceau linéaire invariant de courbes elliptiques, cette 

 surface est : 



1°) rationnelle ou appartieni à la classe des surfaces réglées 

 (P, = P 6 = 0 , p a < 0), ou 



2°) elle possedè un groupe continu de Iransformations birationnelles 

 en elle-mème, et alors, elle est hyperelliptique (p g = ? A = \ ,p a = — i), 

 ou elliptique (p g P 4 =^ 1 , p a = _ i). 



Les surfaces que nous excluons possèdent toutes un faisceau de courbes 

 elliptiques, mais c'est précisément là le cas general des surfaces admettant 

 des transformations non périodiques, car M. Enriques a montré que si une 

 surface n'appartenant pas à la classe des réglées (rationnelles ou irration- 

 nelles) et n'ayant pas un groupe continu de transformations birationnelles, 

 possède une transformation birationnelle non périodique, elle possède un fai- 

 sceau de courbes elliptiques, ou bien elle a tous les genres égaux à un ('). 

 Kemarquons cependant que notre théorème permettra de repondre à la que- 

 stion posée récemment par M. Severi ( 2 ). 



Qu'il me soit permis de remercier M. Enriques, gràce aux conseils du- 

 quel j'ai pu mener à bonne fin ce travail. 



2. Soit F une surface algébrique admettant une transformation biration- 

 nelle non périodique T, en elle-méme. Par hypothèse, cette transformation 

 laisse invariant un système continu de courbes (C|. Deux cas peuvent se 

 présenter: 



a) Le système JC( est un faisceau; 



b) Le système {Cj est d'indice supérieur à l'unite. 



Nous traiterons dabord ce second cas. Tout d'abord, remarquons que 

 le système |C{ peut ètre supposé ne pas appartenni!- à un système linéaire, 

 car celui-ci, ou un multiple convenable de celui-ci, serait au moins 00=» 

 et le théorème d'Enriques-Fano serait applicale. De plus, on peut admettre 

 que tout système linéaire |C|, contenu dans }C(, est au moins triplement 

 infini. S'il en était autrement, on considérerait, au lieu de {C{, un de ses 

 multiples convenablement choisi certainement invariant pour T. 



i 1 ) Sulle superficie algebriche che ammettono una sene discontìnua di trasforma- 

 zioni birazionah, Eend. Accad. Lincei, 1900. 



O Complementi alla teoria della base per la totalità delle curve di una super- 

 ficie algebrica, Eend. di Palermo, 1910, t. XXX. 



( s ) On établit simplement qu'un multiple de j'C| , {nC\ contieni des systèmes liné- 

 aires, |wC|, au moins 00=, pour n assez grand. Si m et n sont les degré et genre vir- 

 tuels de C, les degré et genre virtuels de nC sont respectivement 

 M = n 2 m , n = nn -\- ±n{n — \) m — {n — \) . 

 On peut choisir n suffisamment grand pour que 



M - n + 1 = 1 m n (n + 1) — n(n - 1) 

 soit aussi grand qu'on le vent. Alors, par le théor.me de Eiemann-Eoch, le système \nC\ 

 a la dimension au moins égale à trois. Ajoùtons que |Cj n'étant pas un faisceau, le 

 système \nC\ est certainement irréductible. 



