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Considérons un modèle projectif F* de la surface F, situé dans S 3 , et 

 dont les sections planes sont des courbes C . Les transformations T , T 2 , ... 

 vont changer ces sections planes en des courbes d'un système contimi; et 

 par conséquent, ces courbes seront découpées sur la surface F* par des sur- 

 faces d'un méme ordre p , formant un système continu. Soient i x . i z , ... les 

 paramètres (en nombre fini) dont dépendent les surfaces de ce système con- 

 tinu. Les transformations T , T 2 , ... pourront évidemment étre représentées 

 par des formules 



i x'= (p(x , y , s, ii j i% , ...), 

 ì y' = \p{x , y , s , ii , 4 , •••) , 

 ( g' = %\x , y , g , ii , ii , , 



les fonctions <p , ip , % étant d'ordre /t , et les transformations étant seule- 

 ment caractérisées par les valeurs des paramètres i x , i 2 , ... 

 Si 



f (x , y , *) = 0 



est l'équation de la surface F*, on devra avoir, par hypothèse, 



f{9,f,X) = f(so,y,2). 



De cette identification, on déduit des équations algébriques liant les 

 paramètres i x , i z , ... Les solutions de ces équations seront en nombre infini, 

 puisque l'on a une infinite de transformations T , T 2 , ... ; et par conséquent, 

 elles formeront une variété continue. Par suite, la surface F*, ou F, aura 

 une serie continue de transformations birationnelles en elle-méme. 



Si cette sèrie forme un groupe, la surface F est ( x ) rationnelle, ou ap- 

 partient à la classe des réglées, ou bien elle est hyperelliptique, ou ellip- 

 tique. Si cette sèrie ne forme pas un groupe, la surface F est rationnelle 

 ou référable à une réglée ( 3 ). 



3. Examinons maintenant le cas où le système continu jC( est un faisceau. 



Le faisceau jC{ peut étre invariant de deux facons, suivant que la 

 transformation T change une courbe C en elle-méme, on en une autre 

 courbe C. Dans la première hypothèse, un théorème de Hurwitz permet 

 d'affirmer que les courbes C sont rationnelles (et alors la surface F se laisse 

 transformer en une réglée) ou elliptiques (et la surface F est du type gé- 

 néral assigné par M. Enriques aux surfaces admettant une transformation 



(') Enriques, Sulle superficie che ammettono un gruppo continuo di trasforma- 

 zioni... Rendiconti di Palermo, 1905, t. XX. 



( 8 ) Castelnuovo ed Enriques, Sopra alcune questioni fondamentali nella teoria delle 

 superficie algebriche, Annali di Matematica, 1901, ser. 3 a , t. VI. 



