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non-périodique). Supposons donc que la transformation T change une courbe C 

 en une autre courbe C de facon à donnei- une suite infime de courbes C 

 homologues appartenant au mème faisceau. Supposons de plus que la sur- 

 face F n'est ni rationnelle, ni référable par une transformation birationnelle 

 à une surface réglée, ce qui n'enlève rien à la généralité. 



Le faisceau jCf, considerò comme suite continue d'éléments (courbes), 

 est transformé en lui-méme par une transformation non périodique, et par 

 suite, il est rationnel ou elliptique (théorème de Hurwitz). 



Dans le faisceau jC(, les modules des courbes C dépendent algébri- 

 quement du parametro du faisceau. Mais en partant d'une courbe C et appli- 

 quant successivement la transformation T, on obtient une infinite de courbes 

 ayant les mèmes modules. Cette propriété va nous permettre de montrer 

 que la surface F admet un groupe continu de transformations birationnelles 

 en elle-mème, sauf dans le cas où les courbes C sont elliptiques et le fai- 

 sceau }C{ linéaire. 



Distinguons deux cas, suivant que le faisceau }C{ est elliptique, ou li- 

 néaire. 



Si le faisceau |C( est elliptique, il ne peut contenir des courbes C 

 ayant un point doublé (ou multiple). Supposons en effet qu'il y ait une 

 courbe C dotée d'un point doublé. La courbe C est certainement invariante 

 pour T, sans quoi on aurait, dans le faisceau, une infinite de courbes ayant 

 le genre inférieur à celui d'une C générique, ce qui est impossible. D'autre 

 part, une transformation non périodique donnée sur une courbe elliptique 

 ne peut posseder de coincidences, donc la courbe C ne peut étre invariante 

 pour la transformation T, non périodique, opérant sur le faisceau elliptique 

 {C(. Par suite, le faisceau }C{ ne possède pas de courbes ayant un point 

 doublé (ou multiple). Cela étant, on déduit d'une formule donnée par MM. 

 Castelnuovo et Enriques (loc. cit., n. 6), que l'invariant de Zeuthen-Segré 

 de F est I = — 4. Mais, pour la surface F, on a p nì = 1 (Enriques, loc. 

 cit., Kend. Acc. Lincei): donc 



I+/i> = l2# J + 9 = ^8, 



et p a = — 1. On sait que les surfaces ayant p a == — 1 admettent un groupe 

 continu de transformations birationnelles (Enriques, loc. cit., Kend. Palermo). 



Passons au cas où le faisceau \G[ est linéaire, les courbes C n'étant 

 pas elliptiques. On peut de plus supposer que le courbes C ne sont pas 

 rationnelles, sans quoi, la surface F serait référable à une réglée. 



Deux courbes C quelconques, de genre |J>1, ont des modules égaux, 

 par suite il existe entie ces courbes un certain nombre de transformations 

 birationnelles. Ce nombre est certainement fini, sans quoi les courbes C 

 seraient elliptiques ou rationnelles. Désignons ce nombre par n . Alors, par- 

 tant d'un point P d'une courbe C et construisant les conjugués sur les dif- 



