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Fisica matematica. — Sulla propagazione del calore. Nota 

 del dott. L. Silla, presentata dal Socio T. Levi-Civita. 



1. La celebre Memoria del Poincaré Sur les équations de la Physique 

 mathématique ( l ) e gli altri lavori che ne seguirono, hanno posto oramai 

 fuori di dubbio l'esistenza delle soluzioni eccezionali relative alle equazioni 

 della propagazione del calore ; anzi i recenti progressi sulle equazioni inte- 

 grali hanno permesso di dimostrare l'esistenza di tali soluzioni in casi assai 

 generali, circa la natura della superficie del corpo che si considera ( 2 ). 



La sviluppabilità della funzione che rappresenta la temperatura iniziale 

 del corpo in serie di soluzioni eccezionali, e, corrispondentemente, la dimo- 

 strazione di esistenza dell'integrale delle equazioni della propagazione del 

 calore, si sono ottenute nell'ipotesi che la detta funzione sia finita e con- 

 tinua nel suo campo di variabilità insieme con le derivate parziali dei primi 

 tre ordini ( 3 ), mentre la natura stessa del problema richiede al più l'esi- 

 stenza delle sole derivate prime. 



Un recente teorema del Weyl ( 4 ) permette di dimostrare la sviluppa- 

 bilità della funzione in discorso e il teorema di esistenza per la soluzione 

 del problema del calore, nell' ipotesi che la temperatura iniziale abbia le 

 derivate prime finite nei punti dell' interno del corpo e la derivata normale 

 nei punti della superficie, come mi propongo di mostrare nella presente Nota. 



2. Il problema del raffreddamento d' un corpo omogeno ed isotropo S , 

 limitato da una superficie <r, si riduce, com' è noto, alla determinazione di 

 una funzione Y(x ,y,z,t) la quale, per tutti i valori del tempo t , soddisfi 

 alle equazioni 



| ^7 = KA 2 V, (nei punti di S) 



1 dV 



\ ~dn ~ ^ ^ De * P un ^ ^ °^ 



e sia, inoltre, 



(2) (Y) t=0 =f(x,y,z). 



(') Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, t. Vili (1894). 



( 3 ) G. Lauricella, Applicazione della teoria di Fredholm al prollema del raffred- 

 damento dei corpi (Annali di Matematica, ser. Ili, t. XIV, 1908). 



( 3 ) G. Lauricella, loc. cit, pag. 169 ed inoltre: Sull'integrazione delle equazioni 

 della propagazione del calore [Memorie della Società italiana delle Scienze (detta dei XL), 

 ser. Ili, t. XII, 1902]. 



(*) H. Weyl, Ueber die Konvergenz vou Reihen, die nach Orthogonalfunktionen 

 fortschreiten (Math. Annalen, t. LXVII, 1909) ed inoltre M. Plancherel, Contribution d 

 Vétude de la représentalion d'une fonction arbitraire par des intégrale^ définies (Rend. 

 del Circ. Mat. di Palermo, t. XXX, 1910). 



