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La funzione V rappresenta la temperatura dei punti (x , y , z) del corpo S ; 

 K indica una costante positiva proporzionale al coefficiente di conducibilità 

 interna del corpo ; n la normale nei punti di e, diretta positivamente verso 

 l' interno di S ; h una costante positiva proporzionale al potere emissivo della 

 superficie ce ed f(x , y , s) una funzione che rappresenta lo stato termico 

 iniziale noto nei punti di S. Si suppone che il corpo si trovi immerso in 

 un ambiente di cui la temperatura nei punti di a sia eguale a zero. 



L' integrazione delle equazioni (1), con la condizione (2), si può far 

 dipendere, com'è noto, dalla soluzione del problema: Sviluppare la funzione 

 arbitraria f(x,y,s) in serie delle funzioni pi(x,y,z), integrali delle 

 equazioni 



^ At Pi + kipi = 0, (nei punti di S) 



] à^i__ , / nei t - a \ 



dn 



Le funzioni fi {soluzioni eccezionali) sono determinate ciascuna a meno 

 di un fattore costante e formano notoriamente un sistema ortogonale. Il 

 fattore costante si può determinare in modo che, oltre alla condizione, 



si abbia ancora 



Jp iPj dS = 0 (*=k/)> 



jV^s = i. 



Le quantità fa (valori eccezionali cui .corrispondono le soluzioni ecce- 

 zionali pi), qualunque sia il valore di h, costituiscono una successione, cre- 

 scente con i, avente per limite l'infinito. 



3. Ciò premesso, noi vogliamo ora dimostrare che la successione delle 

 Pi è chiusa, vale a dire che non esiste alcuna funzione h(x , y , *), la quale 

 abbia le derivate prime finite nell' interno del campo S , sia diversa da zero 

 e tale che siano soddisfatte le infinite relazioni 



C hp . d S = 0. (« = 1,2,3,...) 



Infatti, data una funzione qualsiasi f(x,y,z), definita entro S, la 

 quale abbia le derivate prime finite (i punti di <r al più esclusi) e dato 

 un parametro k, si sa (0 che esistono una quantità k x finita positiva e una 

 funzione w(x ,y , z ; k) che è regolare in S per |A|<Ai, indicando k, una 



(») Cfr. G. Lauricella, Annali di Matematica, Ice. cit. 



