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quantità finita positiva, e che ammette un polo semplice per k = k x . La 

 funzione w, per \k\<^ki, soddisfa alle equazioni 



V A 2 w -f- kw (x , y , & ; k) + f{x ,y,g) = 0, (nei punti di S) 



( 4 ) <fo> , , . . , . 

 I ~dn~ ' ( nei P un " ^ l a > 



ed il residuo p x di ?^ nel punto k = k x soddisfa alle equazioni 



| + Ai^i = 0, 



( 5 ) ( , dpi 



ì ^T = ^- 



Posto 



w{% , t, , g ; A) =- ^_ ^ + Wi(oj ,y,x;k), 



si ha che w x (a; ,y ,s ;k) è regolare per |&| <. #, e, in virtù delle (3) e (5), 

 verifica le equazioni 



i A 2 ^i -f -kwi(x ,y,z;k)-\- (f—pi) = 0, (nei punti di S) 



I ~dn = ^ nei P 1 ff ) 



Moltiplicando la prima delle (5) per w x {x , y , s ; Ai) e la prima delle (6) 

 (nelle quali si sia fatto k = k x ) per p Y {x ,y ,z) e poi sottraendo membro a 

 membro ed integrando il risultato a tutto il campo S, si ottiene 



I («01 AzPi — pi A««0i) dS = Pi(f — pi)dS. 

 E poiché il primo integrale è nullo, giacché 



f/^ rfS= f «iS =4= 0 . 



si ha 



Questo risultato si può enunciare dicendo che non esiste alcuna funzione 

 f(x,y,g) del campo S, soddisfacente alle anzidette condizioni, tale che si 

 abbia, per tutti i possibili valori dell'indice i, 



Jf Pi dS = 0, 



ossia, in altri termini, le funzioni p ( (x ,*/,*) costituiscono una successione 

 chiusa. 



